Semigrupo

Un semigrupo es una estructura algebraica de la forma $(A,\circ )$ donde A es un conjunto donde se ha definido una ley de composición interna binaria $\circ$. Un semigrupo cumple las siguientes propiedades:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo $\circ$, el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir: $\forall x,y\in A:\quad x\circ y\in A$.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir: $\forall x,y,z\in A:\quad x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z\;$.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circ$ si: $\forall a,b\in A:\quad a\circ b=b\circ a\;$

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Ejemplo

Un ejemplo de semigrupo conmutativo es el conjunto de los números naturales:N con la operación suma: +. Que se representa: $(N,+)\,$, podemos ver:

Que cumple la clausura, dado que la suma de dos números naturales es otro numero natural:

$\forall a,b\in N:\quad a+b\in N$.

Que es asociativa:

$\forall a,b,c\in N:\quad (a+b)+c=a+(b+c)\;$.

Y conmutativa:

$\forall a,b\in N:\quad a+b=b+a$.

Luego $(N,+)\,$ es semigrupo conmutativo o abeliano.

Véase también

Grupo Monoide Semigrupo Magma Operación matemática Operación interna Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico