Diferencia entre revisiones de «Valor absoluto»

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Contenido eliminado Contenido añadido
Página blanqueada
m Revertidos los cambios de 190.73.85.30 (disc.) a la última edición de Nixón
Línea 1: Línea 1:
En [[matemática]], el '''valor absoluto''' o '''módulo'''<ref name="Argand">[[Jean-Robert Argand]], introductor del término ''módulo'' en [[1806]], ver: [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 Nahin], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson], y [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.]</ref> de un [[número real]] es su valor numérico sin su respectivo ''signo'', sea este [[número positivo|positivo (+)]] o [[número negativo|negativo (-)]]; o en otras palabras, su [[distancia]] en la [[recta numérica]] hasta el valor [[cero]]. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los [[Cuaternión|cuaterniones]], [[Anillo ordenado|anillos ordenados]], [[Cuerpo (matemática)|cuerpos]] o [[Espacio vectorial|espacios vectoriales]].

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de [[Magnitud (matemática)|magnitud]], [[distancia]] y [[Norma vectorial|norma]] en diferentes contextos matemáticos y físicos.

[[Imagen:Absolute value.png|thumb|right|230px|Gráfica de la función ''valor absoluto'']]

== Valor absoluto de un número real ==

Formalmente, el '''valor absoluto''' o '''módulo''' de todo [[número real]] <math>a</math> está definido por:<ref name="Wolfram">[http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com] introducción de la notación <math>|x|</math>, por [[Karl Weierstrass]] en [[1841]].</ref>

:<math>|a| = \begin{cases}
\;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\
-a, & \mbox{si } a < 0
\end{cases} </math>

Note que por definición el valor absoluto de <math>a</math> siempre será mayor o igual que [[cero]], y nunca [[número negativo|negativo]].

Desde un punto de vista [[geometría|geométrico]], el valor absoluto de un número real <math>a</math> corresponde a la [[distancia]] a lo largo de la [[recta real|recta numérica real]] desde <math>a</math> hasta el número [[cero]]. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de [[Distancia#Distancia (geometría)|función distancia o métrica]] en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

=== Propiedades fundamentales ===

:{|
|-
| style="width:200px" | 1. |a| ≥ 0
| No negatividad
|-
| style="width:200px" | 2. |a| = 0 [[Condición necesaria y suficiente|⇔]] a = 0
| [[Definición positiva]]
|-
| style="width:200px" | 3. |ab| = |a| |b|
| [[Función multiplicativa|Propiedad multiplicativa]]
|-
| style="width:200px" | 4. |a+b| ≤ |a| + |b|
| [[Función aditiva|Propiedad aditiva]]
|}

=== Otras propiedades ===

:{|
|-
| style="width:200px" | 1. |-a| = |a|
| [[Simetría]]
|-
| style="width:200px" | 2. |a-b| = 0 [[Condición necesaria y suficiente|⇔]] a = b
| [[Identidad de indiscernibles]] (equivalente a la definición positiva)
|-
| style="width:200px" | 3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b|
| [[Desigualdad triangular]] (equivalente a la propiedad aditiva)
|-
| style="width:200px" | 4. |a-b| ≥ <b>|</b>|a| - |b|<b>|</b>
| (equivalente a la propiedad aditiva)
|-
| style="width:200px" | 5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)
| [[Preservación de la división]] (equivalente a la propiedad multiplicativa)
|}

Otras dos útiles inecuaciones son:

:* |a| ≤ b [[Condición necesaria y suficiente|⇔]] -b ≤ a ≤ b
:* |a| ≥ b [[Condición necesaria y suficiente|⇔]] a ≥ b <math>\vee</math> b ≤ -a

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de [[inecuación|inecuaciones]], como por ejemplo:

:{|
|-
| <math>|x-3| \le 9 </math>
| <math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
|-
|
| <math>\iff -6 \le x \le 12 </math>
|}

== Valor absoluto de un número complejo ==

Como los [[número complejo|números complejos]] no conforman un [[Conjunto parcialmente ordenado|conjunto ordenado]] en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

:<math>z = x + iy\,</math>

con '''''x''''' e '''''y''''' números reales, el '''valor absoluto''' o '''módulo''' de '''''z''''' está definido formalmente por:

:<math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|</math>

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del [[Teorema de Pitágoras]] que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la [[distancia]] en el [[plano complejo]] de ese número hasta el [[origen (matemática)|origen]], y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

=== Propiedades ===

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

:<math> z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,</math>
y
:<math>\bar{z} = x - iy</math>

es el [[Número complejo#conjugado de un número complejo|conjugado]] de '''''z''''', luego podemos ver que:

:<math>|z| = r\,</math>

:<math>|z| = |\bar{z}|</math>

:<math>|z| = \sqrt{z\bar{z}}</math>

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un [[subgrupo]] de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un [[endomorfismo]] del [[grupo]] multiplicativo de los números complejos.

== Programación del valor absoluto ==

En [[programación]], la [[función matemática]] utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es <code>abs()</code>. Esta se utiliza en los [[lenguaje de programación|lenguajes de programación]] [[Fortran]], [[Matlab]] y [[GNU Octave]] (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el [[lenguaje de programación C|Lenguaje C]], donde también son válidas las funciones <code>labs()</code>, <code>llabs()</code>, <code>fabs()</code>, <code>fabsf()</code> y <code>fabsl()</code>.

La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:

int abs (int i)
{
if (i < 0)
return -i;
else
return i;
}

Sin embargo, al tratar con [[punto flotante|puntos flotantes]] la codificación se complica, pues se debe lidiar con la [[Infinito|infinitud]] y valores [[NaN]].

Con el [[lenguaje ensamblador]] es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un [[Registro del sistema|registro]] de 32 [[bit]]s en una [[x86|arquitectura x86]], con la sintaxis de [[Intel Corporation|Intel]]:

cdq
xor eax, edx
sub eax, edx

<code>cdq</code> extiende el bit de signo de <code>eax</code> en <code>edx</code>. Si <code>eax</code> es no-negativa, entonces <code>edx</code> se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando <code>eax</code> sin cambios. Si <code>eax</code> es negativa, entonces <code>edx</code> se convierte en <code>0xFFFFFFFF</code>, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión [[complemento a dos]], dejando el valor absoluto del valor negativo en <code>eax</code>.

== Notas ==
{{Listaref}}

== Referencias ==

* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
* O'Connor, J.J. y Robertson, E.F.; [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html "Jean Robert Argand"]
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259-263, [http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"], Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteValue.html Absolute Value] en [[MathWorld]].
* [http://planetmath.org/encyclopedia/AbsoluteValue.html Absolute value] en [[PlanetMath]].
</div>

== Enlaces externos ==
{{commons|Absolute value}}

[[Categoría:Análisis matemático]]
[[Categoría:Funciones reales]]
[[Categoría:Funciones especiales elementales]]

[[ar:قيمة مطلقة]]
[[be:Модуль ліка]]
[[bg:Абсолютна стойност]]
[[bs:Apsolutna vrijednost]]
[[ca:Valor absolut]]
[[cs:Absolutní hodnota]]
[[de:Betragsfunktion]]
[[en:Absolute value]]
[[eo:Absoluta valoro]]
[[et:Absoluutväärtus]]
[[fa:قدر مطلق (ریاضی)]]
[[fi:Itseisarvo]]
[[fr:Valeur absolue]]
[[gl:Valor absoluto]]
[[he:ערך מוחלט]]
[[hu:Abszolútérték-függvény]]
[[is:Algildi]]
[[it:Valore assoluto]]
[[ja:絶対値]]
[[km:តំលៃដាច់ខាត]]
[[ko:절대값]]
[[la:Magnitudo absoluta]]
[[lt:Modulis]]
[[lv:Modulis (matemātika)]]
[[nl:Absolute waarde]]
[[nn:Absoluttverdi]]
[[no:Absoluttverdi]]
[[pl:Wartość bezwzględna]]
[[pt:Valor absoluto]]
[[ru:Абсолютная величина]]
[[sh:Apsolutna vrijednost]]
[[sk:Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)]]
[[sl:Absolutna vrednost]]
[[sr:Апсолутна вредност]]
[[sv:Absolutbelopp]]
[[th:ค่าสัมบูรณ์]]
[[tk:Absolýut ululyk]]
[[tr:Mutlak değer]]
[[uk:Абсолютна величина]]
[[vi:Giá trị tuyệt đối]]
[[zh:绝对值]]
[[zh-classical:絕對值]]

Revisión del 04:07 3 jul 2009

En matemática, el valor absoluto o módulo[1]​ de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

Gráfica de la función valor absoluto

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:[2]

Note que por definición el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Propiedades fundamentales

1. |a| ≥ 0 No negatividad
2. |a| = 0 a = 0 Definición positiva
3. |ab| = |a| |b| Propiedad multiplicativa
4. |a+b| ≤ |a| + |b| Propiedad aditiva

Otras propiedades

1. |-a| = |a| Simetría
2. |a-b| = 0 a = b Identidad de indiscernibles (equivalente a la definición positiva)
3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b| Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva)
4. |a-b| ≥ ||a| - |b|| (equivalente a la propiedad aditiva)
5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

  • |a| ≤ b -b ≤ a ≤ b
  • |a| ≥ b a ≥ b b ≤ -a

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Valor absoluto de un número complejo

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

y

es el conjugado de z, luego podemos ver que:

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Programación del valor absoluto

En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(), llabs(), fabs(), fabsf() y fabsl().

La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:

int abs (int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}

Sin embargo, al tratar con puntos flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.

Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en una arquitectura x86, con la sintaxis de Intel:

cdq
xor eax, edx
sub eax, edx

cdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa, entonces edx se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax sin cambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejando el valor absoluto del valor negativo en eax.

Notas

  1. Jean-Robert Argand, introductor del término módulo en 1806, ver: Nahin, O'Connor and Robertson, y functions.Wolfram.com.
  2. functions.Wolfram.com introducción de la notación , por Karl Weierstrass en 1841.

Referencias

Enlaces externos