Bicondicional

↔ ⇔ ≡

Símbolos lógicos
que representan si y solo si.

En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado como ssi, sii, o syss), es una proposición de la forma "P si y solo si Q" y afirma que la proposición P será verdadera cuando y exclusivamente Q también lo sea, así como también P será falsa cuando Q lo sea. Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

Definición

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito con símbolos lógicos:

$p \leftrightarrow q \equiv (p\to q) \wedge (q\to p)$.

De manera más precisa, el operador bicondicional está definido mediante la siguiente tabla de verdad:

si y sólo si

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Representación y lectura

Normalmente se usan los símbolo ⇔ o ↔ para denotar el bicondicional, quedando así:

$P\leftrightarrow Q$ o $P \Leftrightarrow Q$.

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

Dos enunciados se dicen equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad, y se simboliza con ≡. Este símbolo también puede leerse "es equivalente a". Cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes su conexión con un bicondicional una tautología.

Adicionalmente, el bicondicional es equivalente a la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Uso

En la matemática, toda definición de un objeto expresa la condición necesaria y suficiente para plantear la definición de tal obejeto; que es lo mismo que expresar de manera tácita a través de un bicondicional. Sin embargo, es usual en una definición usar simplemente una forma implicativa. Verbi gratia: "si un triángulo tiene dos lados congruentes se llama isósceles" .