'''Productos notables''' es el nombre que reciben [[multiplicación|multiplicaciones]] con [[expresión matemática|expresiones algebraicas]] que cumplen ciertas [[Identidad (matemática)|reglas fijas]], cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.((.i.*.*.i.))
'''Productos notables''' es el nombre que reciben [[multiplicación|multiplicaciones]] con [[expresión matemática|expresiones algebraicas]] que cumplen ciertas [[Identidad (matemática)|reglas fijas]], cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una [[fórmula (expresión)|fórmula]] de [[factorización]]. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de [[Cuadrado perfecto|cuadrados perfectos]] es un producto de dos [[Binomio conjugado|binomios conjugados]], y recíprocamente.
Cada producto notable corresponde a una [[fórmula (expresión)|fórmula]] de [[factorización]]. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de [[Cuadrado perfecto|cuadrados perfectos]] es un producto de dos [[Binomio conjugado|binomios conjugados]], y recíprocamente.
Revisión del 22:37 3 nov 2016
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Visualización de la regla de factor común. Forma un nomon.
El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es , es decir, el producto de la base por la altura , y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y
Cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
Demostración
Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso en induciendo en abundantes errores.
El caso .
Finalmente .
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de binomios con término común
Dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:
Demostración
Ejemplo:
Tres binomios con término común
Fórmula general:
Binomios con término común
Fórmula general:
xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos)
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:
Adición de cubos:
Diferencia de cubos:
Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potenciasenésimas (o n - ésimas: xn).
Suma de potencias enésimas:
Si –sólo si–n es impar,
Diferencia de potencias enésimas:
Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.
Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmula[3] ingeniosa:
↑Ya no se está ante binomios conjugados. El nombre clásico e histórico es "diferencia de cuadrados"
↑Hay que multiplicar en el primer miembro. Luego tantear y poner como el cuadrado de un trinomio
↑En Aritmética elemental de Enzo Gentile hay un problema con su respectiva sugerencia
Bibliografía
Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Álgebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN.La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)