Triángulo equilátero

Triángulo equilátero
Un triángulo equilátero es un polígono regular.
Lados y vértices	3
Símbolo de Schläfli	{3}
Ángulo interno (grados)	60°

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo con un valor de 60°.

Construcción

Véase también: Regla y compás

Todo triángulo equilátero consta de tres lados iguales y tres ángulos congruentes,para ello, se recomienda dibujar el triángulo usando una circunferencia, para lo cual se utilizan los siguientes pasos:

• Trácese la circunferencia con el compás, luego,
• tírese un radio y, a partir de este, márquese con el transportador un ángulo de 120°.
• Partiendo del trazo anterior, tírese otro ángulo de 120°.
• Finalmente, únanse los tres puntos sobre la circunferencia, mediante tres segmentos.

Una nueva opción pudiera ser la siguiente:

• Teniendo dos puntos unidos en línea recta (A y B).
• Trácese una circunferencia con centro en A con radio igual a la distancia entre A y B.
• Tírese una circunferencia con centro en B con radio igual a la distancia entre A y B.
• Siendo Γ el punto en el que se cortan las dos circunferencias construidas, únase Γ con A y B.

Propiedades

• La altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz de un triángulo equilátero son iguales, como segmentos y tienen la misma longitud; por la simetría: la bisectriz y la mediana; y por la perpendicularidad: la mediatriz y la altura; la mediana con la mediatriz, por bisecar la base. Además todas ellas son cevianas. ​
• El baricentro, el incentro, circuncentro, ortocentro coinciden en un mismo punto y su distancia a un vértices es el doble de su distancia a la base.
• Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0º, 120º y 240º llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6​
• Dos triángulos equiláteros con un lado común forman un paralelogramo o, mejor aún, un rombo.
• Tres triángulos, dos a dos con un lado común, conforman un trapecio isósceles.
• Cuatro triángulos equiláteros si se disponen adecuadamente forman un triángulo equilátero de cuatro veces el área y doble perímetro del original.
• La altura de un triángulo equilátero la biseca en dos triángulos rectángulos congruentes, tal que en cualquiera de ellos se pueden definir las razones trigonométricas de un ángulo de 30º, como el de 60º.

Relaciones métricas y área

Dada cualquier longitud $a\,$, es posible determinar por medio del Teorema de Pitágoras las siguientes propiedades:

Triángulo equilátero.

• El valor del perímetro es igual a $p=3a\,\!$
• El radio de un círculo circunscrito es $R=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
• El radio de un círculo inscrito es $r=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$
• La altura es $h=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

El valor del área, en función del lado a, es igual a $A=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$

El valor del área, en función del radio R de la circunferencia circunscrita, es igual a $A=3R^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$

El valor del área. usando el radio r del radio de la circunferencia inscrita, es igual a $A=3r^{2}{\sqrt {3}}$​

Cultura popular

Los triángulos equiláteros con frecuencia han aparecido en las construcciones hechas por el hombre:

• Algunos sitios arqueológicos han usado triángulos equiláteros, como parte de su construcción, por ejemplo Lepenski Vir en Serbia.

Véase también

• Trigonometría
• Geometría
• Regla y compás
• Raíz cuadrada de 3
• Teorema de Viviani
• Teorema de Napoleón
• Polígono equilátero

Matriz de traducción

• Weisstein, Eric W. «Triángulo_equilátero». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Enlaces externos

• Animación interactiva.