Cubo

Cubo
Familia: sólidos platónicos
Imagen del sólido
Caras	6
Aristas	12
Vértices	8
Grupo de simetría	Octaédrico (Oh)
Poliedro dual	Octaedro

Elementos

Cubo (Matemateca Ime-Usp)

• Cara viene a ser cada una de las regiones cuadradas que limitan el cubo. En total son seis. Cada par de caras tienen un lado común. Cada cara tiene con otras cuatro caras, lados comunes, excepto con una que se llama cara opuesta. Hay tres pares de caras opuestas.
• Arista es un lado común a dos caras. En total hay doce aristas del cubo. Para cada arista hay otras aristas que son concurrentes, paralelas o que se cruzan.
• Vértice. Tres caras (respectivamente tres aristas) tiene un punto común que se llama vértice del cubo. Por todo, hay ocho vértices.
• Diagonal. Sean dos caras opuestas que permiten definir una correspondencia biyectiva. Del vértice de la primera cara se traza un segmento al vértice opuesto de su homólogo en la cara opuesta. Dicho segmento se llama diagonal del cubo. En total hay cuatro diagonales del cubo.Se cortan en un punto único.
• Centro es la intersección de las diagonales del cubo.
• Característica euleriana. En un cubo ( en general en un poliedro convexo) se cumple que $V+C=A+2$ donde V, el número de vértices del cubo; C, el número de caras; A, el número de aristas.​​

Volumen, área y desarrollo

Revolución de un cubo

Dado un cubo de arista a, podemos calcular su volumen (V) mediante la siguiente fórmula:

$V=a\cdot a\cdot a=a^{3}\,$.

Justificación

Para lo cual se considera como el volumen de un paralelepípedo de base cuadrada de área $A_{B}=a\cdot a=a^{2}=B$, donde el lado es la arista $a$ y la altura del cubo es $h=a$ . Por lo tanto $V=B\cdot h=a^{2}\cdot a=a^{3}$

Área total

Y el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, A_c), mediante:

$A=6\ A_{c}=6\ a^{2}$

Aplicando reiteradamente el teorema de Pitágoras, se obtiene la ecuación que vincula a la arista a con la diagonal d del cubo:

$d^{2}=3a^{2}$

• El volumen $V$ del cubo, conociendo su diagonal $d$ es $V={\frac {d^{3}\cdot {\sqrt {3}}}{9}}$​

Simetría

Animación de uno de los desarrollos del Cubo.

Un hexaedro regular (o cubo) tiene 3 ejes de simetría de orden cuatro: las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio; cuatro ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen los centros de los vértices opuestos;6 ejes de simetría de orden 2 que unen los centros de las aristas opuestos; nueve planos de simetría; tres paralelos a cada par de caras paralelas por el punto medio de las aristas que las unen, y seis formados por los pares de aristas opuestas; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 48: 2x(3x4+6x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos de segunda base, el denominado O_h según la notación de Schöenflies.

Poliedro conjugado

• El poliedro conjugado de un hexaedro regular de arista a es un octaedro regular de arista b, tal que: ${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$

Proposiciones

• En un cubo ABCD-EFGH, la diagonal ${\overline {AG}}$ es perpendicular a los plano que contienen a los triángulos equiláteros BDE y HFC.
• Si el hexaedro ABCD-EFGH es regular, entonces la diagonal${\overline {AG}}$ es trisecada por los dos planos, determinados tanto por los puntos D, B y E, cuanto por los puntos C, H y F.
• Si el hexaedro ABCD-EFGH es un cubo, entonces el tetredro BDGE es regular.​

Hipercubo

Dados típicamente cúbicos: estilo occidental, estilo asiático y dados usados en casinos.

El cubo en un espacio de cuatro dimensiones se denomina teseracto.

Relación con la esfera inscrita y circunscrita

• El diámetro de la esfera inscrita en un cubo es igual a la arista del cubo.
• El diámetro de una esfera circunscrita en un cubo es igual a la diagonal del cubo.​

Véase también

• Cuadrado
• Cubo unitario
• Cubo de Rubik
• Cubo Soma
• Dado

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre cubo.