Hipercubo

Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para la película, véase Cube 2: Hypercube. Para el objeto de cuatro dimensiones conocido como hipercubo, véase Teseracto.

Perspectivas

Cubo (3-cubo)	Teseracto (4-cubo)

En geometría, un "hipercubo" es un elemento n-dimensional análogo a un cuadrado (n = 2) o a un cubo (n = 3). Es una figura cerrada, compacta y convexa, cuyo 1-esqueleto consiste en grupos de segmentos rectos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones, perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unidad en n dimensiones es igual a ${\sqrt {n}}$.

Un hipercubo n-dimensional se conoce más comúnmente como n-cubo, o también como un cubo n-dimensional. El término politopo de medida (originalmente acuñado por Elte, 1912)​ es usado especialmente en el trabajo de H. S. M. Coxeter, que también etiqueta los hipercubos como γn politopos.​

El hipercubo es un caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortotopo).

Un "hipercubo unitario" es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud unidad. A menudo, el hipercubo cuyas esquinas (o vértices) son los puntos 2ⁿ en R'ⁿ con cada coordenada igual a 0 o a 1 se llama hipercubo unidad.

Construcción

Diagrama que muestra cómo crear un teseracto a partir de un punto

Animación de la creación de un teseracto a partir de un punto

Los hipercubos se pueden caracterizar en función de la dimensión en la que se definen:

0 - Un punto es un hipercubo de dimensión cero.

1 - Si se mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de recta, que es un hipercubo de unidad de dimensión uno.

2 - Si se mueve este segmento de recta su longitud en una dirección perpendicular a sí mismo; barre un cuadrado bidimensional.

3 - Si se mueve el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, generará un cubo tridimensional.

4 - Si se mueve el cubo una unidad de longitud perpendicular en la cuarta dimensión, genera un hipercubo unidad de 4 dimensiones (un teseracto unidad).

Esto se puede generalizar a cualquier cantidad de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes puede formalizarse matemáticamente como una suma de Minkowski: el hipercubo d dimensional es la suma de Minkowski de d segmentos rectos de longitud unidad perpendiculares entre sí, y por lo tanto, es un ejemplo de zonotopo.

El 1-esqueleto de un hipercubo es su grafo.

Coordenadas

Un hipercubo unitario de dimensiones n es la envolvente convexa de los puntos dados por todas las permutaciones de signos de las coordenadas cartesianas $\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)$. Tiene una longitud de arista de 1 y un volumen n dimensional de 1.

Un hipercubo n dimensional también se considera a menudo como la envolvente convexa de todas las permutaciones de signos de las coordenadas $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$. Esta fórmula a menudo se elige debido a la facilidad de escribir las coordenadas. Su longitud de arista es 2 y su volumen n dimensional es 2ⁿ.

Elementos

Cada n-cubo con n> 0 está compuesto por un conjunto de elementos formado por n-cubos de una dimensión inferior, situados en la superficie (n-1) dimensional del hipercubo original. Un lado o borde es cualquier elemento de dimensión (n-1) del hipercubo original. Un hipercubo de dimensión n tiene 2n bordes (un segmento unidimensional tiene 2 puntos finales; un cuadrado bidimensional tiene 4 lados o bordes; un cubo tridimensional tiene 6 caras bidimensionales; un teseracto de cuatro dimensiones tiene 8 celdas cúbicas). El número de vértices (puntos) de un hipercubo es $2^{n}$ (un cubo, por ejemplo, tiene $2^{3}$ vértices).

El número de hipercubos m dimensionales (de aquí en adelante los hipercubos se van a denominar m-cubos) en el límite de un n-cubo es​

$E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}$, donde ${n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}$ y $n!$ denota el factorial de $n$.

Por ejemplo, el límite de un 4-cubo (n=4) contiene 8 cubos (o 3-cubos), 24 cuadrados (o 2-cubos), 32 segmentos (o 1-cubos) y 16 vértices (o 0-cubos).

Esta identidad puede ser probada mediante argumentos combinatorios; cada uno de los $2^{n}$ vértices define otro vértice en un contorno m-dimensional. Existen ${n \choose m}$ formas de elegir qué líneas ("lados") definen el subespacio en el que se encuentra el límite. Pero cada lado se cuenta $2^{m}$ veces, en función del número de vértices, por lo que es necesario dividir por este número.

Esta identidad también se puede usar para generar la fórmula para el área de superficie del n-cubo. El área de superficie de un hipercubo es: $2ns^{n-1}$.

Estos números también pueden ser generados por la relación de recurrencia lineal

$E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!$,   con $E_{0,0}=1\!$, y elementos indefinidos (donde $n<m$, $n<0$ o $m<0$) $=0$.

Por ejemplo, extender un cuadrado a través de sus 4 vértices agrega una línea adicional (borde) por vértice, y también agrega el segundo cuadrado final, para formar un cubo, dando $E_{1,3}\!$ = 12 lados en total.

Elementos Hipercúbicos $E_{m,n}\!$ (sucesión A038207 en OEIS)

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n-cubo	Nombres	Schläfli Coxeter	Vértices 0-caras	Aristas 1-caras	Caras 2-caras	Celdas 3-caras	4-caras	5-caras	6-caras	7-caras	8-caras	9-caras	10-caras
0	0-cubo	Punto Monón	( )	1
1	1-cubo	Segmento Dion​	{}	2	1
2	2-cubo	Cuadrado Tetrágono	{4}	4	4	1
3	3-cubo	Cubo Hexaedro	{4,3}	8	12	6	1
4	4-cubo	Teseracto Octacoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	penteracto	Penteract Deca-5-topo	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	hexeracto	Hexeract Dodeca-6-topo	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	hepteracto	Hepteract Tetradeca-7-topo	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	octoracto	Octeract Hexadeca-8-topo	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	eneracto	Eneracto Octadeca-9-topo	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	decaracto	Dekeract Icosa-10-topo	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Gráficos

Se puede representar un n-cubo en un plano mediante una proyección ortogonal oblicua, generando una serie de polígonos 2n-gonales. En la siguiente tabla se muestran los casos comprendidos entre el segmento recto y el cubo de dimensión 15.

Proyecciones ortogonales (Polígonos de Petrie)

Segmento	Cuadrado	Cubo	Teseracto	Penteracto
Hexeracto	Hepteracto	Octoracto	Eneracto	Decaracto
11-cubo	12-cubo	13-cubo	14-cubo	15-cubo

Proyección de un teseracto en rotación

Familias relacionadas de politopos

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se pueden construir para cualquier número de dimensiones.

La familia del hipercubo (orlado) es una de las tres familias de politopos regulares, etiquetada por Harold Scott MacDonald Coxeter como γ_n. Las otras dos son la familia dual del hipercubo, los politopos de cruce, etiquetados como β_n, y los símplices, etiquetados como α_n. Una cuarta familia, formada por las teselaciones infinitas de hipercubos, la calificó como δ_n.

Otra familia relacionada de y politopos uniformes y semiregulares son los demihipercubos, que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternativos eliminados y facetas con forma de símplex agregadas en los huecos, etiquetados como hγ_n.

Los n-cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos de cruce) para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones, se obtiene la figura de estrella octagrámica {8/2},
• En tres dimensiones se obtiene el compuesto de cubo y octaedro,
• En cuatro dimensiones se obtiene el compuesto de teseracto y 16-celda.

Relación con (n-1)-símplices

La gráfica de los n-bordes del hipercubo es isomorfa con el diagrama de Hasse de la retícula de facetas (n-1)-símplex. Esto se puede ver orientando el n hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al (n-1)-simplex en sí mismo y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna únicamente a una de las facetas (n-1)-símplex (n-2 caras), y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a uno de los símplex n-3 caras, y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del símplex.

Esta relación se puede utilizar para generar la red de caras de un (n-1)-símplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a los politopos generales son más costosos computacionalmente.

Hipercubos generalizados

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo con el nombre de "hipercubos generalizados", γ p
n = _p {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂, o ... Existen soluciones reales con p=2, es decir γ 2
n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ = {4,3, .., 3}. Para p>2, existen en $\mathbb {C} ^{n}$. Las facetas están generalizadas (n-1)-cubos y las figuras de vértices son símplices regulares.

El perímetro del polígono regular resultante de estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie. Los cuadrados generalizados (n=2) se muestran con bordes delineados como rojo y azul alternando el color de los p-bordes, mientras que los n-cubos más altos se dibujan con los p-bordes delineados en negro.

El número de elementos de m-caras en un p-generalizado n-cubo son: $p^{n-m}{n \choose m}$. Esta relación implica que siempre aparezcan p ⁿ vértices y pn facetas.​

Hipercubos generalizados

	p=2		p=3	p=4	p=5	p=6	p=7	p=8
$\mathbb {R} ^{2}$	γ2 2 = {4} = 4 vértices	$\mathbb {C} ^{2}$	γ3 2 = 9 vértices	γ4 2 = 16 vértices	γ5 2 = 25 vértices	γ6 2 = 36 vértices	γ7 2 = 49 vértices	γ8 2 = 64 vértices
$\mathbb {R} ^{3}$	γ2 3 = {4,3} = 8 vértices	$\mathbb {C} ^{3}$	γ3 3 = 27 vértices	γ4 3 = 64 vértices	γ5 3 = 125 vértices	γ6 3 = 216 vértices	γ7 3 = 343 vértices	γ8 3 = 512 vértices
$\mathbb {R} ^{4}$	γ2 4 = {4,3,3} = 16 vértices	$\mathbb {C} ^{4}$	γ3 4 = 81 vértices	γ4 4 = 256 vértices	γ5 4 = 625 vértices	γ6 4 = 1296 vértices	γ7 4 = 2401 vértices	γ8 4 = 4096 vértices
$\mathbb {R} ^{5}$	γ2 5 = {4,3,3,3} = 32 vértices	$\mathbb {C} ^{5}$	γ3 5 = 243 vértices	γ4 5 = 1024 vértices	γ5 5 = 3125 vértices	γ6 5 = 7776 vértices	γ7 5 = 16,807 vértices	γ8 5 = 32,768 vértices
$\mathbb {R} ^{6}$	γ2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 vértices	$\mathbb {C} ^{6}$	γ3 6 = 729 vértices	γ4 6 = 4096 vértices	γ5 6 = 15,625 vértices	γ6 6 = 46,656 vértices	γ7 6 = 117,649 vértices	γ8 6 = 262,144 vértices
$\mathbb {R} ^{7}$	γ2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 vértices	$\mathbb {C} ^{7}$	γ3 7 = 2187 vértices	γ4 7 = 16,384 vértices	γ5 7 = 78,125 vértices	γ6 7 = 279,936 vértices	γ7 7 = 823,543 vértices	γ8 7 = 2,097,152 vértices
$\mathbb {R} ^{8}$	γ2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vértices	$\mathbb {C} ^{8}$	γ3 8 = 6561 vértices	γ4 8 = 65,536 vértices	γ5 8 = 390,625 vértices	γ6 8 = 1,679,616 vértices	γ7 8 = 5,764,801 vértices	γ8 8 = 16,777,216 vértices

Véase también

• Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
• Red de interconexión Hypercube de arquitectura informática
• Grupo hiperoctaedral, el grupo de simetría del hipercubo
• Hiperesfera
• Símplex
• Crucifixión, un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí

Bibliografía

• Bowen, J. P. (April 1982). «Hypercube». Practical Computing 5 (4): 97-99. Archivado desde el original el 30 de junio de 2008. Consultado el 30 de junio de 2008. 
• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3rd edición). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Tabla I (iii): Polytopes regulares, tres polytopes regulares en dimensiones n ( n  ≥ 5)
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9.  Cf Capítulo 7.1 "Representación cúbica de funciones booleanas" en el que la noción de "hipercubo" se introduce como un medio de demostrar un código de distancia 1 (Código Gray) como los vértices de un hipercubo, y luego el hipercubo con sus vértices así etiquetados se aplasta en dos dimensiones para formar un mapa de Karnaugh.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hipercubo.
• Weisstein, Eric W. «Hypercube». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Hypercube graphs». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• www.4d-screen.de (Rotación de 4D-7D-Cube)
• Rotating a Hypercube de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
• Hipercubo animado estereoscópico
• Descargas de hipercubos de Rudy Rucker y Farideh Dormishian

• Datos: Q213723
• Multimedia: Hypercubes / Q213723