Conjunto de soluciones (matemáticas)

En pitos matemáticas usoluciones es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación, una inecuación, un sistema de ecuaciones, o uno de inecuaciones. Es un subconjunto de los valores «permitidos» a las incógnitas.​

En términos lógicos, el conjunto solución es aquel cuyos elementos hacen que una proposición abierta sea verdadera.​ Como las ecuaciones son proposiciones cuyo valor de verdad depende de las incógnitas que en ella aparecen, la definición de conjunto solución aplicada a estas puede ser considerada entonces como un caso particular.

El conjunto de soluciones puede tener un solo elemento, varios (incluso infinitos, por ejemplo en una identidad) o ninguno (el conjunto vacío).

Definición

Dada una aplicación f : A → B, la expresión f(x) = b determina una ecuación, en tanto consideremos a x como una indeterminada que pertenece al conjunto A.

El conjunto solución o conjunto de soluciones de una ecuación es la imagen inversa de b a través de f.

El conjunto solución está constituido por todos los a ∈ A determinados que satisfacen la ecuación, es decir, aquellos para los cuales se cumple f(a) = b. Hay una sutil diferencia conceptual entre las notaciones

$f(x)=b,$

$f(a)=b.$

En la primera, x es un valor desconocido, del cual se sabe que está en A. La segunda involucra, si existe, un elemento conocido a de A que puede «reemplazarse» en la primer igualdad y transformarla en una identidad numérica.​

De modo análogo puede definirse el conjunto solución para las inecuaciones.

Si $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ denota al conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = b, la inecuación f(x) ≠ b tiene como solución el conjunto $\scriptstyle {\overline {\mathcal {S}}}\ =\,A\setminus {\mathcal {S}}$, es decir, el complemento de $\scriptstyle {\mathcal {S}}$. Este contiene todos los elementos de A que no están en $\scriptstyle {\mathcal {S}}$.

Para otros tipos de desigualdades, como las relaciones < o >, se requiere que A y B sean conjuntos parcialmente ordenados con una relación de orden equivalente. Así, si ${\mathcal {R}}$ representa una relación de este tipo, la solución de $f(x){\mathcal {R}}b$ está constituida por los elementos de A que cumplen esa relación.

Ejemplos

• Para |x+5|=7 tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\{-12,2\}$ (tiene dos soluciones).
• Para $x\in \mathbb {R}$, $x^{2}=-1$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\varnothing$ (no tiene soluciones).
• Para $x\in \mathbb {C}$, $x^{2}=-1$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\{-i,i\}$ (tiene dos soluciones).
• Para $x\in \mathbb {R}$, $\sin(\pi x)=1$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\left\{\textstyle 2k+{\frac {1}{2}}:k\in \mathbb {Z} \right\}$ (infinitas soluciones).
• Para $x\in \mathbb {R}$, $x^{2}\leq 9$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=[-3,3]$ (un intervalo).
• Para $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, la ecuación en dos variables $\textstyle {\frac {1-3y}{x-2y}}={\frac {2x}{2y-x}}+1$ tiene como conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\{(t,t+1):t\neq -2\land t\in \mathbb {R} \}$, que geométricamente puede representarse como una recta en el plano euclídeo,​ con un «agujero» en el punto $(-2,-1)$. Este problema aparece porque $2y-x=0$ es una expresión que conduce a una división por cero en la ecuación.
• Para f una función real que cumple $f(1)=4$, la ecuación diferencial ordinaria $3f(x)-xf'(x)=0$ tiene como conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\left\{4x^{3}\right\}$.