Usuario:Jmarquezd/Taller

En este espacio es donde se empezarán a elaborar las páginas escogidas para el desarrollo en la componente académica MATDIN. Elección que queda recogida en mi cuaderno de bitácora. Estas páginas son:

1. Relación asimétrica
2. Relación antitransitiva
3. Permutaciones con repetición
4. Resto Potencial

Relación asimétrica

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es asimétrica cuando si se da que un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces el segundo nunca está relacionado con el primero. Es decir:

$\forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad \neg (yRx)$

En tal caso se dice que R cumple con la relación de asimetría.

También podemos decir que R es asimétrica si:

$\forall x,y\in A:\quad \neg (xRy)\quad \lor \quad \neg (yRx)$

Representación de asimétrica

Sea R una relación asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación	Relación asimétrica
Como pares ordenados	$\forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R$
Como matriz de adyacencia	Matriz $M\,$ cuya diagonal solo tiene ceros, es decir, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,$ y además $M+M^{t}\,$ produce una matriz simétrica.
Como grafo	Es un grafo dirigido sin bucles ni ciclos.

Relación simétrica

Cuando una relación es lo opuesto a la asimétrica, nos referimos a que si dado un elemento que está relacionado con otro, entonces ese segundo siempre está relacionado con el primero, o lo que es lo mismo:

$\forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad yRx$

Estamos entonces ante una relación simétrica.

Ejemplos de asimétrica

Sea A un conjunto cualquiera:

• Sea $(A,>)\,$, $>\,$ ("mayor estricto que"), al igual que $<\,$ ("menor estricto que"). Sin embargo, no ocurre lo mismo para ≤ ("menor o igual que") o ≥ ("mayor o igual que").
• Sea $(A,\subset )$, $\subset$ (la inclusión estricta de conjuntos).
• En A = {1, 2, 3, 4} la relación R = { (1, 3), (4, 2), (2, 3) }. En caso de encontrarnos en A = {1, 2} y tener la relación R = { (1, 2), (2, 1) } estaríamos ante una relación simétrica
• "Ser hijo de" o "ser padre de" conformarían una relación asimétrica, sin embargo, "ser hermano de" no.

Reflexividad

Una relación asimétrica no puede ser a su vez reflexiva, ya que si x = y entonces:

$\quad xRy\quad \land \quad yRx$

Esto es algo que no puede ocurrir por la propia definición. Es decir, toda relación asimétrica es irreflexiva.

Diferencia entre asimétrica y antisimétrica

Como ya se ha visto, la relación asimétrica y la simétrica son opuestas entre sí, pues nunca se va a dar una relación que sea ambas a la vez, y una que no sea simétrica siempre será asimétrica, y viceversa. Pero esto no ocurre con la antisimétrica.

Una relación antisimétrica es aquella que verifica que si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces esos dos elementos son iguales:

$\forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b$

Una relación puede ser a la vez o simétrica o asimétrica, y antisimétrica.

Véase también

• Relación simétrica
• Relación antisimétrica
• Relación reflexiva
• Relación irreflexiva

Referencias

1. Liu, Chung Laung (1995). «4». Elementos de Matemáticas Discretas (Segunda edición). Illinois: Mc Graw Hill. p. 111. ISBN 970-10-0743-3. 

Relación antitransitiva

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es antitransitiva cuando si dado un primer elemento relacionado con otro y ese otro relacionado con un tercero, entonces el primero no está relacionado con el tercero. Es decir:

$\forall x,y,z\in A:\quad xRy\quad \land \quad yRz\quad \Rightarrow \quad \neg (xRz)$

Relaciones transitivas

Para entender correctamente que son las relaciones antitransitivas, es imprescindible conocer que son las relaciones transitivas. Se dice que una relación binaria es transitiva cuando dado que un primer elemento relacionado con otro y ese otro está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:

$\forall x,y,z\in A:\quad xRy\quad \land \quad yRz\quad \Rightarrow \quad xRz$

¿Qué es lo opuesto a la transitividad?

En el lenguaje matemático, se utiliza intransitividad, que no antitransitividad, para referirse a la no transitividad. Por lo que toda relación que no es transitiva es intransitiva:

$\neg (\forall x,y,z\in A:\quad xRy\quad \land \quad yRz\quad \Rightarrow \quad xRz)$

O lo que es lo mismo:

$\exists x,y,z\in A:\quad xRy\quad \land \quad yRz\quad \land \quad xRz$

¿En qué difieren la intransitividad y la antitransitiva?

La intransitividad se utiliza para referirse a la propiedad más fuerte y estricta de la antitransitividad. Una relación puede ser a la vez transitiva y antitransitiva, pues en caso de que no se cumpla el antecedente ambas serán verdaderas, pero esto es algo que nunca ocurrirá con la intransitiva, pues toda relación que sea transitiva no es intransitiva y toda relación que no sea transitiva es intransitiva.

Ejemplos de antitransitiva

• En la relación '>', si A > B y B > C, entonces es imposible que C > A. Algo que no ocurre si lo se amplía a mayor o igual que (>=).

• Si A es el padre de B y B es el padre de C, no puede ocurrir que C sea el padre de A. Si en vez de "ser padre de" estuviéramos hablando de "ser hermano de", no sería antitransitiva, sino que sería transitiva.

• En la relación "ser el doble de", si A está relacionado con B y B con C, no puede ocurrir que C esté relacionado con A.

Véase también

• Relación transitiva
• Relación intransitiva
• Relación irreflexiva
• Relación asimétrica

Referencias

1. Liu, Chung Laung (1995). «4». Elementos de Matemáticas Discretas (Segunda edición). Illinois: Mc Graw Hill. p. 111. ISBN 970-10-0743-3. 

¿Qué es una permutación?

Dado un conjunto finito A de m elementos distintos, se entiende como permutaciones de ellos a las distintas formas en las que pueden ordenarse. El número de de permutaciones (órdenes) distintos de los m elementos es m!, es decir, el factorial del número de elementos.

$Pm=m!=m(m-1)(m-2)\cdots 1\,\!$.

Por ejemplo, dado un conjunto A = {1, 2, 3} (nº de elementos = m = 3), las permutaciones de los elementos de dicho conjunto son: 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Se obtiene 6 ordenaciones distintas de los elementos y se verifica que nº de permutaciones = 3! = 6.

Permutaciones con repetición

Supongamos que en el conjunto de los m elementos no son todos distintos entre sí, sino que hay un elemento x₁ que se repite m₁ veces, un elemento x₂ que se repite m₂ veces, ..., un elemento x_n que se repite m_n veces. Entonces, el número de permutaciones de los elementos que se repiten son:

Permutaciones de x₁ → m₁!

Permutaciones de x₂ → m₂!

             .
             .
             .

Permutaciones de x_m → m_n!

Estas permutaciones de elementos idénticos son iguales entre sí. Y por lo tanto, las diferentes formas que ordenar los m elementos serían:

${P}_{m}^{m1,m2,...,mn}={\frac {m!}{{m}_{1}!{m}_{2}!...{m}_{n}!}}$

Ejemplos

• ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con {1, 1, 1, 2, 2}?

${P}_{5}^{3,2}={\frac {5!}{3!2!}}={\frac {120}{12}}=10$

• Si se sabe que se lanza una moneda 10 veces y se obtiene el mismo número de caras que de cruces, ¿cuántas formas posibles y diferentes hay de que haya ocurrido esto?

${P}_{10}^{5,5}={\frac {10!}{5!5!}}={\frac {3628800}{14400}}=252$

• En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

${P}_{9}^{3,2,4}={\frac {9!}{3!2!4!}}={\frac {362880}{288}}=1260$

Véase también

• Permutaciones (sin repetición)
• Variaciones
• Coeficiente binomial
• Combinaciones con repetición

Referencias

1. Liu, Chung Laung (1995). «4». Elementos de Matemáticas Discretas (Segunda edición). Illinois: Mc Graw Hill. p. 111. ISBN 970-10-0743-3. 

Resto Potencial

Llamamos resto potencial de un número n respecto de un módulo m a los restos o residuos que se generan al dividir las potencias enteras positivas de n entre m, con n >= 2: Como se trata de dividir entre m, el número máximo de restos diferentes que se pueden generar es m-1, por lo que llegará un momento en el que estos se repitan de manera periódica. Para el cálculo de estos es útil tener en cuenta la propiedad:  ≡

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