Teorema de la inversa acotada

En matemáticas, el teorema inverso acotado (también llamado teorema de aplicación inversa o teorema del isomorfismo de Banach) es un resultado de la teoría de operadores lineales acotados sobre espacios de Banach. Afirma que un operador lineal acotado bijective T de un espacio de Banach a otro tiene una aplicación inversa acotada T⁻¹. Es equivalente tanto para el teorema de la aplicación abierta como para el teorema de la aplicación cerrada.

Generalización

Teorema​ Si A : X → Y es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable completo (EVT) a un EVT de Hausdorff que es un espacio de Baire, entonces A : X → Y es un homeomorfismo (y por lo tanto, un isomorfismo de EVT).

Contraejemplo

Este teorema puede no ser válido para espacios normados que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito distinto de cero términos equipados con la norma del supremo. La aplicación T : X → X definido por

$Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)$

es acotado, lineal e invertible, pero T⁻¹ es ilimitado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada, ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considérese la secuencia de secuencias x⁽ⁿ⁾ ∈ X dada por

$x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)$

converge como n → ∞ a la secuencia x^(∞) dada por

$x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),$

que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X.

La completación de X es el espacio $c_{0}$ de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) de un espacio ℓ_p ℓ_∞(N), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, la aplicación T no es sobre, y por tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia

$x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)$,

es un elemento de $c_{0}$, pero no está en el rango de $T:c_{0}\to c_{0}$.

Véase también

• Aplicación lineal casi abierta
• Grafo cerrado
• Teorema del grafo cerrado
• Teorema de la función abierta
• Sobreyección de espacios de Fréchet
• Espacio reticulado

Bibliografía

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• Datos: Q4949984