Teorema de la gráfica cerrada

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En análisis funcional, el teorema de la gráfica cerrada establece lo siguiente:

Sean X e Y dos espacios de Banach, entonces todo operador f:XY lineal cuya gráfica sea un cerrado en el espacio topológico producto X×Y es continua.

Este teorema se demuestra usando el teorema de la función abierta, y es casi imprescindible para resolver ciertos problemas de análisis funcional que no se pueden resolver con técnicas menos avanzadas.

Corolario[editar]

Tiene un corolario, que es el que se suele usar en la práctica:

Sean X e Y espacios de Banach, y f:XY un operador lineal. Supongamos que para toda sucesión (xn) convergente en X existe lim f(xn) y es igual a f(lim xn). En estas condiciones, f es continua.