Tanteo walrasiano

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Pasamar preparado para subasta al público en El Campello (Alicante). (Nótese guía de precio)

El tanteo walrasiano[1] [2] (conocido también como subasta walrasiana[3] ) es un modelo económico basado originalmente en la subasta de los mercados campesinos franceses de finales del siglo XVIII y diseñado para explicar el como se obtienen, en un mercado libre y competitivo, los precios de equilibrio.[4] [5] El economista francés Léon Walras avanzó la sugerencia,[6] asumiendo competencia perfecta, etc, a fin de sustentar la teoría del equilibrio general. Walras propone que ese equilibrio se puede alcanzar mediante un proceso de tanteo (tâtonnement que es la palabra francesa para "tanteamiento").

En general se puede decir que el modelo del tanteo busca explicar, asumiendo una economía competitiva, el como se forman los precios de mercado y como esos precios influencian a su vez en forma simultánea tanto la oferta como la demanda, mecanismo que conduce al vaciamiento del mercado, que es una condición para el equilibrio[7] (lo que que implica más complejidades que lo que puede parecer a primera vista, especialmente en relación a la obtención de un putativo equilibrio económico).[8]

A pesar que el modelo walrasiano antecede al de Alfred Marshall, se puede concebir (y generalmente lo es) como complementario al de la oferta y demanda.[9] [10] Su uso es generalizado en la economía, no solo a nivel de la microeconomía[11] [12] sino también en la macroeconomía:[13] “Cuando Walras (1926, 153 y ss) se pregunta por el paso del equilibrio parcial al equilibrio general, no razona en términos de micro o de macro, sino que centra la atención en la compatibilidad entre el equilibrio parcial y el equilibrio general. Walras habla de la «generalización de las ecuaciones de oferta y demanda».[14] y “A continuación, desarrollamos tres temas. En primer lugar, los antecedentes de la teoría actual del equilibrio neoclásico; en segundo lugar, la relación de este último con la concurrencia perfecta o imperfecta que constituyen la microeconomía del modelo; y, en tercero, el significado del tanteo walrasiano como representante del proceso general de intercambios de la macroeconomía.”.[15]

El modelo sufre de una cierta imprecisión, lo que ha llevado a varias propuestas que buscan ya sea refinarlo o mejorarlo.[16] [17] Aun así, generalmente se considera que la sugerencia tiene relevancia,[18] [19] [20] al punto que algunos lo consideran fundamental por lo menos para la microeconomía moderna.[21]

Las sugerencias walrasianas[editar]

A pesar que Walras no explicó precisamente su propuesta, es generalmente aceptado que él sugirió dos modelos generales.[22] [23] Esto ha dado origen a un cierto nivel de confusión (ver op. cit). Aquí, a fin de facilitar comprensión del sistema, presentaremos primero una descripción simplificada del mercado sobre el cual Walras se basó originalmente.

Modelo básico[editar]

Este se encuentra en mercados de economías rurales, donde existen muchos participantes (actuando tanto como vendedores como compradores) y, consecuentemente, ninguno puede controlar el precio.[24] Cada productor (granjero, ganadero, etc) acude al mercado a vender su exceso de producción, buscando al mismo tiempo obtener aquello que necesita.

En la subasta misma, un martillero busca la venta del máximo posible de producto. Basado en su conocimiento de precios anteriores, grita un precio y observa el resultado. Si todavía queda algún producto sin vender, grita otro, más bajo que el anterior. Si queda demanda sin satisfacer, el precio sube. Eventualmente se llega a un precio de acuerdo. Solo en ese punto se consideran “firmes” o válidas las propuestas que se han hecho: todo el producto a la venta en cada sector del mercado general (o en cada mercado específico) se vende a ese último precio, que es entonces el “precio de equilibrio” para ese mercado ese día.[25]

Por ejemplo, considérese el mercado para un bien particular: cebollas. Treinta compradores potenciales están dispuestos (considerados en conjunto) a comprar (posiblemente para vender en sus negocios) mil kilos de cebollas si el precio fuera sesenta céntimos de euro por kilo, quinientos si el precio por kilo es setenta céntimos. Si el precio fuera ochenta, solo comprarían doscientos cincuenta kilos. Los vendedores ofrecen mil kilos a un precio de ochenta céntimos el kilo. Quinientos a un precio de setenta céntimos y doscientos cincuenta a sesenta céntimos. El acuerdo que lleva al vaciamiento del mercado se encuentra a un precio de setenta céntimos y quinientos kilos. (Nótese que el ejemplo es extremadamente simple).

El proceso continúa con el siguiente tipo de bienes a venta. Nótese que los actores actúan, posteriormente a la venta de sus productos, como compradores.

De lo anterior conviene mantener presente dos observaciones que Walras incluyó en sus asunciones: para cada sector del mercado, todo el producto puede ser considerado equivalente o indiferenciado. Habrá, por ejemplo, “un mercado” para ovejas, otro para caballos de carga, otro para terneros, etc. Pero dentro de cada uno de esos mercados, cada unidad de producto es esencialmente igual a cualquier otra. La segunda observación de importancia es que los participantes individuales en los mercados no lo controlan, es decir, en la terminología de Walras, son “tomadores” o “aceptadores de precio” (“preneurs de prix” en francés; “price takers” en inglés,)

Modelo Walrasiano[editar]

  • modelo simple

Walras sugiere que lo anterior se puede representar diciendo que cada participante posee una “dotación inicial” (cantidad) de bienes a intercambiar por otros. Ese intercambio puede ser visualizado como si fuera un proceso de "subasta simultánea", en la cual cada agente económico calcula su demanda para cada bien o producto en relación a todos los precios posibles y la presenta a un "subastador". El precio de equilibrio se establece entonces en el punto en el cual tanto el precio ofrecido como la cantidad demandada en total por cada bien se igualan a la cantidad total del bien en oferta a esos precios, lo que implica una tendencia al equilibrio económico.

Walras introduce un elemento adicional, la consideración que la demanda de cada participante depende de lo ese que obtenga por su producto o dotación inicial: desde el punto de vista de cada actor, lo que puede ofrecer por productos que desea adquirir se relaciona directamente a sus ventas (Nótese que esto implica precios relativos). Es decir, se puede percibir que cada actor participa en una serie de intercambios de su producto por el de otros. Walras, a fin de simplificar, define cada intercambio de este tipo (es decir, el intercambio de la mercadería de un agente por la de otro) como “un mercado”. Adicionalmente Walras no considera los costes de transacción.

Walras ejemplifica lo anterior postulando dos actores y dos bienes (por ejemplo, jamones y quesos). Ambos actores son a la vez compradores y vendedores, vendiendo aquello de lo que tienen exceso (jamones y quesos respectivamente) a cambio de lo que tienen necesidad (quesos y jamones, en el ejemplo). En esta visión, el punto de equilibrio se encuentra cuando la cantidad total de la demanda de un bien multiplicado por su precio iguala a la cantidad total de la demanda del otro bien multiplicado por su precio.

Cantidad de Jamones x Precio de jamones = Cantidad de Quesos x Precio de quesos

 C J \cdot P_{j} = C Q\cdot P_{q}.

Lo anterior implica que la demanda de cada agente por el bien que no poseen será proporcional a la relación entre el precio de ese otro bien y el precio del bien que ellos poseen. Si, siguiendo el ejemplo más arriba, el precio de cada jamón es tres euros y el de quesos uno, la demanda del vendedor de jamones será tres quesos por cada jamón que venda.

  • modelo más complejo.

El segundo modelo que Walras presenta introduce modificaciones con el fin de obtener no ya el equilibrio en un mercado particular (por ejemplo, el de quesos y jamones) sino en todos los mercados. Este modelo se basa en el existencia en la bolsa francesa de los tiempos de Walras, en la cual no se permitían compraventas en un sector determinado hasta que se hubiera alcanzado el precio de equilibrio para ese sector ese día[26]

Se asume que el proceso puede prolongarse indefinidamente sin costos a los participantes. En la subasta misma se encuentran, simultáneamente, múltiples bienes sometidos a subasta. Los participantes ofrecen un precio diferente por cada uno de los bienes y varían la cantidad demandada en función de esos precios. Cada participante señala cuanto está dispuesto a comprar/vender de un bien determinado a un precio dado y lo comunica, simultáneamente al resto de los participantes, al subastador a través de notas en papel.

Se asume que el subastador ( corredores de bolsa en el caso concreto) posee información perfecta (es decir, conoce y recuerda todas esas propuestas) y efectúa sus cálculos buscando maximar los intercambios (ver Eficiencia económica). Durante este proceso no hay transacciones. El proceso es iterativo, y continúa hasta que tanto la demanda como la oferta se igualan. (para una introducción al funcionamiento actual del modelo, ver[27] ).

Walras sugiere que los actores se están comportando como si tuvieran una cierta cantidad de bienes para la venta (instrumentos financieros en el caso concreto de la bolsa) lo que les proveerá una cierta cantidad de dinero. Ese dinero será usado para comprar otros instrumentos financieros. Pero tanto lo que venden como lo que compran depende de los precios a los que sus respectivos bienes serán vendidos.

Generalizando lo anterior, Walras sugiere que el equilibrio se alcanzara cuando todos los precios estén en una relación mutua dada. Eso permitirá que la totalidad de los recursos financieros disponibles igualen a la totalidad de instrumentos financieros en oferta. Esas asunciones en conjunto permiten modelar matemáticamente la sugerencia (ver Ley de Walras[28] ).

Walras ofrece (en la parte III de los Elementos) la siguiente ilustración de la generalización del esquema. Considérese tres agentes, cada uno con una dotación de dos bienes. Walras explícitamente elimina el martillero, pero mantiene el tanteo. Comienza estableciendo todas las transacciones posibles (Walras define cada pareja de compraventas como un mercado). Cada individuo entonces posee dos “relaciones de intercambio” (que Walras llama funciones de demanda), las cuales expresan lo que ofrece de cada uno de sus bienes por el que no posee. Esto da origen a seis funciones de demandas, lo que, a su vez, generan un número de ecuaciones (12 en el ejemplo, una por cada una de los seis precios de cada una de las tres mercadería expresada en términos de las otras dos, y otras seis por las cantidades intercambiadas). La resolución simultánea de esas ecuaciones establece el equilibrio walrasiano.[29]

Generalmente se percibe que en su formalización Walras ofrece modificaciones para sectores distintos: mercado de bienes de consumo no durables (incluyendo servicios), mercado financiero o de valores, mercado de bienes de capital. Sin embargo, no todos aceptan eso[30]

Generalización; Implicaciones y condiciones[editar]

Es necesario mantener presente que el fin de la sugerencia walrasiana es explicar el como se forman los precios que llevan a un equilibrio general. Como tal, la implicación central del modelo es que hay, en cualquier sistema económico, un conjunto de precios tal que llevan al vaciamiento del mercado, es decir, a una situación en la cual todo lo producido se vende y no queda demanda insatisfecha.

La formalización de lo anterior lleva a la Ley de Walras, de acuerdo a la cual, y asumiendo que cada agente planifique gastar en el mercado (comprando bienes y servicios por los cuales por lo menos siente tener un deseo) la totalidad de sus ingresos, la totalidad de lo que planifican vender debe ser igual en monto a la totalidad de lo que planifican comprar. (nótese que esto es tanto una extensión de la generalización del modelo simple como de la ley de Say). Sigue entonces que si hay un exceso de oferta en algún sector del mercado general, debe haber algún exceso de demanda en por lo menos un otro sector, exceso que balancea exactamente ese exceso de oferta (de otra manera la equivalencia original no se mantiene). Es decir que (y esta es la formulación de la Ley de Walras “en palabras”) “la suma de los excesos de demanda en todos los mercados en una economía particular deben igualarse a cero y esto tiene validez incluso si los mercados no están en equilibrio”.[31]

Tal solución implica o demanda que el subastador tenga información perfecta y que esa información es trasmitida y utilizada correctamente. Alternativamente, cualquiera sea el mecanismo que reemplaza al subastador debe transmitir con eficiencia absoluta esa información. En la ausencia de tal condición es posible que el resultado (los precios establecidos) no sean los de equilibrio.

Sin embargo se ha sugerido que el modelo no es satisfactorio dada una variedad de problema, notados inicialmente por Francis Edgeworth.[32] El más simple (y partir del cual se derivan otros) es que, de hecho, en el caso general de un sistema económico, no hay tal subastador: “Sin embargo, esta teoría continuó siendo insatisfactoria al confrontarse con la interrogante respecto a cómo se alcanza ese equilibrio, en virtud de que éste es el resultado de un proceso de ajuste de decisiones descentralizadas. Por otro lado, se inicia por vez primera en la teoría de los precios, un análisis separado de los problemas de existencia y estabilidad del equilibrio. Evidentemente, el problema de la formación de los precios se evade con la figura del subastador.”.[33]

Adicionalmente hay problemas con la complejidad de los cálculos necesarios: “El problema con esta teoría no sólo es que el mundo real de asignación de recursos no está reflejado en subastas walrasianas sino porque dicho proceso sería enormemente costoso. En efecto, tal sería la complejidad característica en las relaciones de intercambio que el intento de proceder en la línea walrasiana absorbería todos los recursos y energías de los contratistas sin, quizás, nunca conseguir una solución.”.[34]

Por lo menos parcialmente como respuesta Walras introdujo en su modelo el concepto del numéraire y la consideración de modificaciones a la oferta y demanda a través del tiempo. Los agentes de bolsa actúan como intermediarios o subastadores, gritando públicamente propuestas y acuerdos, dando así tiempo para que participantes modifiquen sus expectaciones. Si bien el resultado de este proceso bursátil no es el equilibrio — en el sentido de un precio único estable[35] — es uno que se puede concebir como tendiente a — o oscilando alrededor de — esa estabilidad.

Desde este punto de vista conviene notar que el modelo de Walras acomoda fácilmente un rango de precios[36] .[37]

Considérese el ejemplo de un mercado en el cual tanto la demanda como lo producido y los precios pueden variar con relativa facilidad diariamente: el mercado del pan en un pueblo relativamente pequeño. Asúmase que, en general, mil compradores están dispuestos (considerados en conjunto) a comprar tres mil barras de pan al día si el precio fuera cincuenta céntimos de euro por barra, dos mil barras si el precio por barra es un euro. Si el precio fuera dos euros por barra, solo comprarían quinientas barras. Al mismo tiempo los vendedores estarían dispuestos a ofrecer ya sea cuatro mil barras de pan a un precio de dos euros cada una, dos mil a un precio de un euro y quinientas a cincuenta céntimos. El vaciamiento del mercado se encuentra, de acuerdo al modelo examinado, a un precio de un euro y dos mil barras de pan al día.

Ahora, asumase que un día cualquiera los productores han producido tres mil barras, quizás estimando que, de hecho, hay demanda insatisfecha. Dos mil se pueden vender a un euro cada una. Pero esto todavía deja mil barras a vender. Los compradores estarían dispuestos a tomar quinientas si el precio fuera dos euros, lo que sugiere un posible acuerdo en la compraventa de quinientas, lo que deja otras quinientas por las cuales no hay demanda efectiva a ese precio. Pero los vendedores estarían dispuestos a vender quinientas barras a cincuenta céntimos, por las cuales si hay demanda (en el ejemplo se podría vender tres mil barras de pan al día a ese precio). El resultado final es, entonces, dos mil barras de pan vendidas a un euro, quinientas a dos euros y quinientas a medio euro. El mercado se vacía, con ventas totales de tres mil doscientos cincuenta euros a diferencia de los dos mil del primer caso. (nótese que, de nuevo, el ejemplo es muy simple).

Conviene notar que el resultado seria similar si se asume que, en lugar de todas las transacciones se implementan simultáneamente, se comienza por los precios más extremos y, a través del día, esos precios varían. A cincuenta céntimos, los productores están dispuestos a vender solo quinientas barras, lo que deja dos mil quinientas a vender, de las cuales dos mil se venden a un euro, etc. Empezando por el otro extremo, los compradores están dispuestos a comprar solo quinientas barras a un precio mayor a un euro, lo que de nuevo deja dos mil quinientas a vender, de las cuales dos mil se venden a un euro y el resto a cincuenta céntimos.

Nótese tambiénque al hacer eso estamos describiendo algo así como el Teorema de la telaraña, lo que contradice el espíritu de la propuesta de Walras,[38] sin embargo esta aproximación no carece de todo fundamento, dado que la propuesta del modelo de la telaraña fue creado precisamente para explicar un problema obvio con la sugerencia walrasiana: el hecho que los precios cambian día a día.[39]

Lo anterior puede ser considerado una descripción más realista de los mercados, sugiriendo un proceso más dinámico, en el cual los precios oscilan en lugar de llegar a una situación de estabilidad permanente: “Sin embargo, no se ha logrado demostrar que las fuerzas del mercado que proceden por tanteos o aproximaciones sucesivas,lo que Walras llamó tâtonnements conduzcan al equilibrio, ni que este sea único y estable. En este orden de ideas, H. Sonnenschein, estableció que las funciones de demanda neta que resultan del modelo Arrow-Debreu pueden tener cualquier forma, así la llamada ley de la demanda resulta poco verosímil y, en cambio, parece más probable que opere la inestabilidad de los tâtonnements Walrasianos. El propio (Gerard Debreu, 2001) señaló la imposibilidad de poder demostrar que el equilibrio económico general fuese único y estable, a menos que se recurriera a hipótesis extremadamente restrictivas muy alejadas de la realidad.”.[40] - "En estas condiciones es interesante señalar la imposibilidad de alcanzar el estado estacionario del sistema. Como se observa en la simulación, luego de 1000 periodos simulados el comportamiento de los precios no muestra ninguna tendencia de cambio hacia un estado estacionario.".[41] - "En efecto, la estabilidad del sistema, es decir, su convergencia hacia un equilibrio, parecía ser más la excepción que la regla...(...)... Entre 1972 y 1974 varios autores, entre ellos Debreu, han establecido una serie de teoremas, que se orientan en la misma perspectiva y en los cuales la inestabilidad del tanteo es una de las principales consecuencias; la diversidad y cuasi simultaneidad de las demostraciones indican que el resultado estaba “maduro”. Incluso, si este resultado pudo ser formulado de varias maneras, con pocas diferencias de fondo, hablaremos a este respecto del teorema de Sonnenschein, quien fue el primero en establecerlo."[42] (ver Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu).

Bibliografía[editar]

Referencias[editar]

  1. Juan Pablo Herrera S (2008): “Este sistema es conocido en Equilibrio General como el sistema de Tanteo Walrasiano y representa de una forma simplificada la manera como fluctúan los precios en una economía. Quien originalmente formulo este tipo de ajuste fue Walras (1874), pero la formalización en un sistema de ecuaciones diferenciales se le atribuye a Samuelson (1947). En dos documentos publicados a finales de los sesenta se proponen las condiciones básicas bajo las cuales el equilibrio es localmente y globalmente estable (ver Arrow and Hurwicz (1958) y Arrow et al. (1959)).” en Comentarios acerca de la estabilidad en los Modelos de Equilibrio General p 2
  2. tatonnement
  3. Ronald Dworkin, (1996): “La subasta walrasiana, llamada así en honor del investigador que la ideó,...” en La comunidad liberal, Madrid, p 68
  4. Bernard Guerrien: “La regla adoptada por el microeconomista es la del tanteo walrasiano.... El objetivo es entonces mostrar que, provisto de esta regla, el sistema es estable, es decir, que los precios convergen hacia un equilibrio.” Equilibrio competitivo, estabilidad y estática comparativa
  5. José Guillermo Peláez G: "Desde su nacimiento en el siglo XVIII la teoría de los precios se propuso solucionar tres problemas básicos, a saber: i) La existencia de un sistema único de precios de equilibrio como solución al problema de la compatibilidad de los planes de los individuos. ii) En equilibrio (definido como un estado de reposo), los precios no varían,...(etc)...." en Desequilibrio y estabilidad en una economía competitiva (tesis doctoral)
  6. 'Éléments d'économie politique pure, ou théorie de la richesse sociale (1874). (traducido como Elementos de Economía Política Pura, Alianza editorial) (véase Rocío Millán Navarro: LEON WALRAS: ELEMENTOS DE. ECONOMIA. POLÍTICA PURA
  7. José Guillermo Peláez G: "En un segundo modelo de desequilibrio, Walras introduce la figura del subastador (es el proceso de ajuste más conocido). Éste anuncia precios en términos de un numerario con lo cual se elimina, desde un principio, el problema del arbitraje en virtud de la unicidad del precio para cada mercancía. El subastador, bajo la presión de la competencia, eleva el precio si la demanda es mayor que la oferta, o baja el precio en caso contrario. Esta variación del precio en el primer mercado modificará la oferta y la demanda de todos los demás mercados por tratarse de un sistema de interdependencia general. Este proceso se repite en el segundo mercado, luego en el tercero y así sucesivamente hasta el m-ésiemo mercado. Walras argumenta que la oferta y la demanda de cada una de las mercancías, se ve más influenciada por la variación de sus respectivos precios que por la variación de todos los demás precios juntos (efecto que posteriormente se denominó diagonal dominante 42). Por consiguiente, después de la primera ronda de ajuste en los “m” mercados, éstos deberán estar más próximos al equilibrio que al principio del proceso. Lo que sigue es continuar el proceso de tanteo con el mismo mecanismo de ajuste que Walras denominó "ley de la oferta y la demanda", hasta alcanzar el equilibrio general de precios que permita la igualdad de la oferta y la demanda en todo el sistema." en Desequilibrio y estabilidad en una economía competitiva (tesis doctoral) p 35-36
  8. Kenneth Arrow (1973) “Desde los tiempos de “La riqueza de las Naciones” de Adam Smith en 1776, un tema recurrente en el análisis económico ha sido el notable grado de coherencia entre la gran cantidad de decisiones individuales y aparentemente separadas sobre la compra y venta de las mercancías. En la experiencia cotidiana, normal, hay algo de un equilibrio entre las cantidades de bienes y servicios que algunas personas ponen a la oferta y las cantidades que otras personas, quieren vender [sic]. Los posibles compradores normalmente cuentan correctamente en ser capaz de llevar a cabo sus intenciones, y los posibles vendedores por lo general no se encuentran produciendo grandes cantidades de bienes que no pueden vender. Esta experiencia de equilibrio es de hecho tan extendido que no plantea ninguna inquietud intelectual entre los laicos, se lo toman tan por sentado que ellos no están dispuestos a entender el mecanismo por el que se produce.”.- Citado por Jonathan Levin (2006): General Equilibrium
  9. Por ejemplo, Walter Nicholson (2004): Teoría microeconómica: principios básicos y ampliaciones pp 479 y 480
  10. Thomas Humphrey: Marshallian Cross Diagrams and Their Uses before Alfred Marshall: The Origins of Supply and Demand Geometry
  11. Walter Nicholson (2004) Teoría microeconómica: principios básicos y ampliaciones p 480
  12. Enrique A. Bour (2008- 2009): Tratado de Microeconomía punto 20.3.4.2 El tâtonnement walrasiano
  13. Ver, por ejemplo, Nicolas Salvatore (2006): Nota de cátedra Nro 2: El modelo de un mercado walrasiano
  14. Jorge Iván González (2004): La dicotomía micro-macro no es pertinente p 74, 75
  15. Fernando Jeannot R (2006): Los intercambios procesados por el tanteo walrasiano
  16. Por ejemplo: Alexander Ludwig (2004): Improving Tatonnement Methods for Solving Heterogeneous Agent Models
  17. H. Uzawa (1960: Walras' Tâtonnement in the Theory of Exchange
  18. Riechmann, Thomas (2002) Cournot or Walras? Agent Based Learning, Rationality, and Long Run Results in Oligopoly Games
  19. James Eaves y Jeffrey Williams (2007): Walrasian Tâtonnement Auctions on the Tokyo Grain Exchange
  20. José Guillermo Peláez G: "En Walras el desequilibrio económico tiene dos expresiones, a saber: ausencia de unicidad de precios para cada mercancía por un lado, e incompatibilidad de planes de ofertas y demandas individuales por otro. Lamentablemente, el estudio de una economía con estas características, en particular en lo que concierne al problema de la unicidad del precio para cada mercancía (el rasgo del desequilibrio menos conocido), no ha sido atendido por la teoría económica con excepción de Walras. En este capítulo examinaremos dos modelos, a saber: la teoría del "arbitraje" (más de un precio para cada mercancía), el cual constituye el modelo menos conocido en la literatura. Luego analizaremos el modelo del tanteo walrasiano, el más difundido en la literatura, en virtud de ser la base del modelo que estudia la estabilidad del equilibrio general en la teoría neoclásica. No vamos a presentar los análisis posteriores a los de J. Hicks y P. Samuelson, que son muy conocidos. Nos centraremos en cambio, en el modelo original de Walras." en Desequilibrio y estabilidad en una economía competitiva (tesis doctoral) p 35-36
  21. Marcus Pivato (2006): Walrasian Equilibrium Theory: The foundation of modern mathematical microeconomics
  22. H. Uzawa: “Walras mismo, sin embargo, no aclara qué se entiende por su proceso de tanteo.” en Walras' Tâtonnement in the Theory of Exchange
  23. Donald A. Walker (1987): Walras's Theories of Tatonnement
  24. Mark de Zabaleta: “Walras parte de la subasta por tanteo en economías rurales donde existen muchos productores y ninguno puede influir en el precio. El ganadero o agricultor acude al mercado a vender su exceso de producción. Los animales enfermos o viejos quedan excluidos del mercado.” en El “Martillero de Walras” y el “Óptimo de Pareto”
  25. Para una descripción más técnica, ver José Guillermo Peláez G: Desequilibrio y estabilidad en una economía competitiva p 47 y siguientes y Donald W. Katzner (1999): Methodological Individualism and the Walrasian Tâtonnement
  26. Donald A. Walker (2005): Walras's Market Models p 78 y ss
  27. Juan Pablo Herrera S: Comentarios acerca de la estabilidad en los Modelos de Equilibrio General
  28. Para una profundización de esta transformación, ver Tom Kompas (1992): Studies in the history of long-run equilibrium theory particularmente chapter 2 “Walras tatonnement reconsidered”
  29. Tom Kompas (1992): Studies in the history of long-run equilibrium theory chapter 2 “Walras tatonnement reconsidered” particularmente pp 21-23
  30. Para una introducción a este aspecto, ver D. A. Walker (2005): Walras's Market Models Introduction (pp 6 y ss) (en inglés)
  31. Robert Dixon (2000): Walras Law and Macroeconomics sección Walras Law. Para un análisis un poco más profundo, ver Lefteris Tsoulfidis (2010): Competing Schools of Economic Thought pp 172, 175]
  32. para una examinacion de estos asuntos, ver Donald A. Walker (1987): Edgeworth versus Walras on the Theory of Tatonnement
  33. José Guillermo Peláez G: Desequilibrio y estabilidad en una economía competitiva (tesis doctoral) p 15
  34. TATONNEMENT O BÚSQUEDA DEL EQUILIBRIO
  35. José Guillermo Peláez G: "El contraejemplo de Scarf está basado en bienes complementarios y su relevancia la sintetiza Franklin Fisher cuando señala que "Su verdadera importancia analítica no es sin embargo frecuentemente reconocida hoy en día. Scarf no ha demostrado que el estudio de la estabilidad estuviera destinado al fracaso...pero mostró que el tanteo generalmente no conducía a la estabilidad." en Desequilibrio y estabilidad en una economía competitiva (tesis doctoral)
  36. H. Uzawa (1960): “In an exchange economy, the competitive market process consists of a price adjustment by which the price of a commodity will rise or fall according to whether there is a positive excess demand or a positive excess supply of the commodity. Walras himself, however, does not make clear what is meant by his tatonnement process. In particular, he has two distinct tatonnement processes in mind: the one with simultaneous adjustment, and the other with successive adjustment, both with respect to prices of commodities. For example, the passages on pp. 170-2, [14], in which he attempts to prove the stability of the process, show that his process is one of successive price adjustments, while the summary on p. 172, [14], seems to suggest that his tatonnement process is a simultaneous price adjustment. “ en Walras' Tâtonnement in the Theory of Exchange p 182
  37. Por ejemplo: C. Wilson (2010): Uniqueness of Competitive Equilibrium
  38. ver Donald Anthony Walker: Walras's market models p 136
  39. Lex Borghans (1991) The Cobweb Theorem: A Rational Interpretation
  40. Hortencia Rueda L: debilidades De la teoría Del equilibrio general p 110
  41. Juan Pablo Herrera S: Comentarios acerca de la estabilidad en los Modelos de Equilibrio General
  42. Bernard Guerrien LA MICROECONOMÍA sección Equilibrio competitivo, estabilidad y estática comparativa