Hipotrocoide

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Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

Hipotrocoide (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 5, r = 3, d = 5).
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Parámetros: R = 10, r = 5 = R/2, d = 1.

Ecuaciones[editar]

Siendo (donde ) y , con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

pero x no es igual a A

donde:

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

donde:

y .

Sabiendo que , y , obtenemos las ecuaciones siguientes:

el ángulo varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde .

Las hipocicloides son casos particulares, donde (el punto fijo de la generatriz)

Aplicaciones[editar]

  • Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides.
  • Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas.[1]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (16 de julio de 2019). «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations». Physical Review E 100 (1): 010302. doi:10.1103/PhysRevE.100.010302. Consultado el 4 de octubre de 2020. 

Enlaces externos[editar]