Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el círculo pequeño (radio r = 1)) gira alrededor del exterior del círculo grande (radio R = 3))

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz).​ Es un tipo de ruleta cicloidal.

Etimología e historia

El nombre es una extensión del término cicloide, acuñado en 1599 por Galileo Galilei,​ y tiene su origen en las palabras griegas epi (sobre), kuklos (círculo, rueda) y eidos (similar o parecido a).

La curva apareció por primera vez en la antigüedad clásica, y Aristóteles y posteriormente Claudio Ptolomeo la utilizaron para describir el movimiento de los planetas basándose en un modelo geocéntrico, así como para resolver problemas relacionados con las inversiones que se producen en su trayectoria celeste, denominadas retrogradaciones. Sin embargo, la curva en sí no se menciona, y es simplemente una consecuencia del movimiento que se obtiene cuando un epiciclo gira alrededor de un deferente.​

Durante su trabajo sobre los perfiles de los dientes de los engranajes, Ole Rømer redescubrió la epicicloide y la nombró en 1674. Posteriormente, demostró que, al diseñar los dientes de un engranaje con segmentos de una epicicloide, dos ruedas dentadas giran con una fricción mínima. Estos resultados fueron confirmados posteriormente por Girard Desargues y Philippe de la Hire. El teorema de la generación dual, por su parte, fue demostrado por primera vez por Daniel Bernoulli en 1725.

Otros matemáticos interesados en esta curva fueron Durero, Huygens, Leibniz, L'Hôpital, Jacob Bernoulli, Euler, Edmund Halley e Isaac Newton. Este último abordó la medición de la longitud de la epicicloide en su obra "Philosophiæ naturalis principia mathematica".​

Ecuaciones

Parámetros de la ecuación de una epicicloide

Ecuación paramétrica

Considerando la figura de la derecha, se puede escribir:

${\text{[1] }}x=(r_{1}+r_{2})\,\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma$

${\text{[2] }}y=(r_{1}+r_{2})\,\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma$

con $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos $l_{1}$ y $l_{2}$ son iguales, es decir: $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$. De aquí se tiene que $\beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones ${\text{[1]}}$ y ${\text{[2]}}$ se obtiene la ecuación paramétrica de la epicicloide:

$x=(r_{1}+r_{2})\,\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

$y=(r_{1}+r_{2})\,\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

Ecuación con números complejos

Estas ecuaciones se pueden escribir de manera más compacta usando números complejos, con los que adquiere la forma:​

$z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)$

donde:

• El ángulo $\theta \in [0,2\pi ],$
• El círculo rodante tiene radio $r$, y
• El círculo fijo tiene radio $kr$.

Condición de curva cerrada

En la imagen de la izquierda ${\tfrac {R}{r}}$ es un entero, por lo que los "pétalos" no se superponen, y la curva se cierra tras una sola revolución del círculo de radio $r$ sobre el círculo de radio $R$ (azul). En la imagen de la derecha, los "pétalos" se superponen; debido a que ${\tfrac {R}{r}}={\tfrac {5}{2}}$, y la curva se cierra solo después de dos revoluciones

Tanto las epicicloides como las hipocicloides son curvas cerradas si y solo si la relación $k$ = ${\tfrac {R}{r}}$ de los radios es un número racional.​ y pueden escribirse como una fracción irreducible de dos números enteros $i_{R}$ e $i_{r}$. Expresado matemáticamente, esto significa:

${\frac {R}{r}}={\frac {i_{R}}{i_{r}}}\quad {\mbox{con}}\quad \operatorname {mcd} (i_{R},i_{r})=1$

donde $\operatorname {mcd} (i_{R},i_{r})$ denota el máximo común divisor de $i_{R}$ y de $i_{r}$. En la primera fracción, $R$ es el radio de la rueda estacionaria y $r$ es el radio de la rueda giratoria. En su aplicación técnica en forma de engranajes, el número de dientes es crucial por tratarse siempre de un número entero, por lo que siempre resultan curvas cerradas.

Por lo tanto, dado $k={\tfrac {R}{r}}$, entonces se tiene que:

• Si $k$ es un entero positivo, la curva es cerrada y tiene $k$ cúspides (es decir, vértices agudos).

• Si $k$ es un número racional, de la forma $k=p/q$ expresado como fracción irreducible de dos números enteros $p$ y $q$, la curva tiene $p$ cúspides.

• Si $k$ es un número irracional, la curva nunca se cierra y forma un conjunto denso del espacio entre el círculo mayor y un círculo de radio $R+2r$.

Número de vueltas necesario para cerrar la curva

Para cerrar la curva y completar el patrón repetitivo, deben darse las condiciones siguientes:

• El ángulo del círculo interior ha debido barrer $q$ rotaciones (siguiendo al punto de contacto entre ambos círculos)
• El ángulo del círculo exterior ha debido barrer $p$ rotaciones (observadas desde el centro del círculo interior)
• En consecuencia, el círculo rodante exterior habrá completado $p+q$ rotaciones (con respecto a una dirección fija exterior)

Área y longitud de arco

Suponiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo mayor, entonces, cuando $k$ es un número entero positivo, el área $A$ y la longitud de arco $s$ de esta epicicloide son:

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2},$

$s=8(k+1)r.$

Esto significa que la epicicloide tiene un área ${\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}$ mayor que el círculo estacionario original.

La distancia ${\overline {OP}}$ desde el origen hasta el punto $p$ en el círculo pequeño varía según:

$R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r$

donde

• $R$ = radio del círculo grande y
• $2r$ = diámetro del círculo pequeño.

Demostraciones

Haciendo que $(R+2r,0)$ sea la posición de partida del punto generador de la epicicloide considerada, su representación paramétrica es: $x=mr\cos \alpha \,{\color {red}+}\,r\cos(m\alpha ),$ $y=mr\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\color {red}+}\,r\,\mathrm {sen} (m\alpha ).$ Área Sector de una epicicloide Usando la fórmula de Leibniz para un sector: $F={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\big (}x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t){\big )}\,\mathrm {d} t$ y ${\begin{matrix}xy'-yx'&=&(mr\cos \alpha -r\cos(m\alpha ))\cdot mr(\cos \alpha -\cos(m\alpha ))\\&&-(mr\,\mathrm {sen} \,\alpha -r\,\mathrm {sen} (m\alpha ))\cdot (-mr\,(\mathrm {sen} \,\alpha -\,\mathrm {sen} (m\alpha )))\\&=&m(m+1)r^{2}(1-\cos((m-1)\alpha ))\end{matrix}}$ Para un entero $m$, el área del sector en un arco es $A_{0}={\frac {1}{2}}m(m+1)r^{2}\int _{0}^{\frac {2\pi }{m-1}}(1-\cos((m-1)\alpha )\,\mathrm {d} \alpha ={\frac {\pi m(m+1)r^{2}}{m-1}}$ y para toda el área encerrada por la epicicloide ($m-1$ arcos) $A=(m-1)A_{0}=m(m+1)\,\pi r^{2}.$ Longitud Las primeras derivadas de la ecuación paramétrica son: $x'=-mr\,(\mathrm {sen} \,\alpha -\mathrm {sen} (m\alpha )),$ $y'=mr\,(\cos \alpha -\cos(m\alpha )),$ lo que da como resultado: $x'^{2}+y'^{2}=4m^{2}r^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\left({\frac {m-1}{2}}\alpha \right)=2m^{2}r^{2}(1-\cos((m-1)\alpha ))$ utilizando las fórmula trigonométricas que figuran en el Anexo:Identidades trigonométricas para $\mathrm {sen} \,u-\mathrm {sen} v$ y $\cos u-\cos v$, el teorema de Pitágoras y la fórmula $\mathrm {sen} ^{2}u={\tfrac {1}{2}}(1-\cos(2u))$). Para el entero $m$, existe una epicicloide cerrada con $m-1$ arcos. La longitud de un arco es: $s_{0}=\int _{0}^{\frac {2\pi }{m-1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,\mathrm {d} \alpha =2mr\int _{0}^{\frac {2\pi }{m-1}}\mathrm {sen} \left({\frac {m-1}{2}}\alpha \right)\,\mathrm {d} \alpha ={\frac {8mr}{m-1}}.$ Por lo tanto, la longitud total es: $s=(m-1)s_{0}=8mr=8(R+r).$​

Generación dual de epicicloides

Generación dual de epicicloides Epicicloide q = 3/1 Pericicloide q = 3/4

En una epicicloide, que se crea al girar una circunferencia de radio $r$ alrededor de una circunferencia fija de radio $R$, la distancia de los puntos de la curva desde el centro de la circunferencia fija varía entre $R$ y $R+2r$ (la suma del radio de la circunferencia principal y el diámetro de la circunferencia móvil). Esta epicicloide también puede considerarse una pericicloide o, de forma más general, una peritrocoide:​ una circunferencia de radio $R+r$ rueda con su superficie interior alrededor de una circunferencia fija de radio $R$.

En la imagen de la derecha se muestra una epicicloide con $R=3$ y con $r=1$ como ejemplo (la curva roja). Para la pericicloide correspondiente (la curva azul), el radio de la circunferencia fija también es igual a $3$, pero el radio de la circunferencia móvil es igual a $3+1=4$. Esto significa que la razón de las longitudes (relación de transmisión) de los radios es $q$ = ${\tfrac {R}{r}}={\tfrac {3}{1}}$ o ${\tfrac {3}{4}}$. En términos de engranajes, el engranaje generador de una peritrocoide también se puede lograr mediante el giro de una corona dentada alrededor de un engranaje estacionario más pequeño.

La generación dual fue descrita por primera vez por Philippe de la Hire en 1694 para epicicloides e hipocicloides, y Bellermann la extendió a epitrocoides e hipotrocoides en 1867.​​

Casos particulares

Cuando ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ es un número racional, es decir, $k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$, siendo $p$ y $q$ números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando $r_{1}=r_{2}$, es decir, $k=1$ se obtiene una cardioide.

Cuando $r_{1}=2r_{2}$, es decir, $k=2$ se obtiene una nefroide.

Ejemplos

Ejemplos de epicicloides

• 
  k=1
• 
  k=2
• 
  k=3
• 
  k=4

• 
  k=2,1=21/10
• 
  k=3,8=19/5
• 
  k=5,5=11/2
• 
  k=7,2=36/5

Curvas cíclicas

Clasificación de las curvas cíclicas:

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a la directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a la directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a la generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

• Ruleta
• Curva cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias externas

• Epicicloides, en Descartes
• Epicicloides, en cfnavarra

• Datos: Q214556
• Multimedia: Epicycloid / Q214556