Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radius R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación

Considerando la figura podemos escribir:

$x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma$

$y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ + r_2\ sen \gamma$

con $\gamma = \alpha+\beta-\pi / 2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta$. De aquí se tiene que $\beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]$

$y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ -r_2\ cos\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]$

Casos particulares

Cuando $\frac {r_1}{r_2}$ es un número racional, i.e., $k = \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, $k=1$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=r₂, i.e, $k=2$ obtenemos una nefroide.

Ejemplos

• ejemplos de epicicloides
• 

  k=1

• 

  k=2

• 

  k=3

• 

  k=4

• 

  k=2,1=21/10

• 

  k=3,8=19/5

• 

  k=5,5=11/2

• 

  k=7,2=36/5

Véase también

• Ruleta
• Curva Cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias en la Web

• Epicicloides, en Descartes
• Epicicloides, en cfnavarra
• Curvas Técnicas, en tododibujo