Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación

Considerando la figura podemos escribir:

$x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma$

$y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ + r_2\ sen \gamma$

con $\gamma = \alpha+\beta-\pi / 2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta$. De aquí se tiene que $\beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]$

$y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ -r_2\ cos\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]$

Casos particulares

Cuando $\frac {r_1}{r_2}$ es un número racional, i.e., $k = \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, $k=1$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, $k=2$ obtenemos una nefroide.

Ejemplos

• ejemplos de epicicloides
• 

  k=1

• 

  k=2

• 

  k=3

• 

  k=4

• 

  k=2,1=21/10

• 

  k=3,8=19/5

• 

  k=5,5=11/2

• 

  k=7,2=36/5

Véase también

• Ruleta
• Curva Cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias en la Web

• Epicicloides, en Descartes
• Epicicloides, en cfnavarra