Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación[editar]

Considerando la figura podemos escribir:

$x=(r_{1}+r_{2})sen\ \alpha \ -r_{2}\ cos\gamma$ $x=(r_{1}+r_{2})sen\ \alpha \ -r_{2}\ cos\gamma$

$y=(r_{1}+r_{2})cos\ \alpha \ +r_{2}\ sen\gamma$ $y=(r_{1}+r_{2})cos\ \alpha \ +r_{2}\ sen\gamma$

con $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$ $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$ . De aquí se tiene que $\beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$ $\beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_{1}+r_{2})sen\ \alpha \ -r_{2}\ sen\ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$ $x=(r_{1}+r_{2})sen\ \alpha \ -r_{2}\ sen\ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

$y=(r_{1}+r_{2})cos\ \alpha \ -r_{2}\ cos\ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$ $y=(r_{1}+r_{2})cos\ \alpha \ -r_{2}\ cos\ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

Casos particulares[editar]

Cuando ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ es un número racional, i.e., $k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$ $k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$ , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.