Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuación

Considerando la figura podemos escribir:

$x=(r_{1}+r_{2})cos\ \alpha \ +r_{2}\ sen\gamma$

$y=(r_{1}+r_{2})sen\ \alpha \ -r_{2}\ cos\gamma$

con $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$. De aquí se tiene que $\beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_{1}+r_{2})cos\ \alpha \ -r_{2}\ cos\ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

$y=(r_{1}+r_{2})sen\ \alpha \ -r_{2}\ sen\ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

Casos particulares

Cuando ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ es un número racional, i.e., $k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, $k=1$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, $k=2$ obtenemos una nefroide.

Ejemplos

• ejemplos de epicicloides
• 

  k=1

• 

  k=2

• 

  k=3

• 

  k=4

• 

  k=2,1=21/10

• 

  k=3,8=19/5

• 

  k=5,5=11/2

• 

  k=7,2=36/5

Véase también

• Ruleta
• Curva Cicloidal
• Cicloide
• Hipocicloide
• Caracol de Pascal

Referencias en la Web

• Epicicloides, en Descartes
• Epicicloides, en cfnavarra