La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz ) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz ). Es un tipo de ruleta cicloidal .
Considerando la figura podemos escribir:
(1 )
x
=
(
r
1
+
r
2
)
s
e
n
α
−
r
2
c
o
s
γ
{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma }
(2 )
y
=
(
r
1
+
r
2
)
c
o
s
α
+
r
2
s
e
n
γ
{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma }
con
γ
=
α
+
β
−
π
/
2
{\displaystyle \gamma =\alpha +\beta -\pi /2}
y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e:
r
1
α
=
l
1
=
l
2
=
r
2
β
{\displaystyle r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta }
. De aquí se tiene que
β
=
r
1
r
2
α
{\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha }
Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide:
x
=
(
r
1
+
r
2
)
s
e
n
α
−
r
2
s
e
n
[
α
(
1
+
r
1
r
2
)
]
{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}
y
=
(
r
1
+
r
2
)
c
o
s
α
−
r
2
c
o
s
[
α
(
1
+
r
1
r
2
)
]
{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}
Casos particulares [ editar ]
Cuando
r
1
r
2
{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}}
es un número racional, i.e.,
k
=
r
1
r
2
=
p
q
{\displaystyle k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}}
, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.
Cuando r1 =r2 , i.e,
k
=
1
{\displaystyle k=1}
obtenemos una cardioide .
Cuando r1 =2r2 , i.e,
k
=
2
{\displaystyle k=2}
obtenemos una nefroide .
Véase también [ editar ]
Referencias en la Web [ editar ]