Cicloide

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Cicloide generada por una circunferencia.

Una cicloide es el lugar geométrico originado por un punto de una circunferencia (generatriz) al rodar sobre una línea recta (directriz), sin deslizarse.

Historia[editar]

En la caldera izquierda del Pequod, con el jaboncillo dando vueltas diligentes a mi alrededor, fue cuando me sorprendió indirectamente el hecho notable de que en geometría todos los cuerpos que se deslizan a lo largo de la cicloide, como mi jaboncillo por ejemplo, descienden desde cualquier punto exactamente en el mismo lapso de tiempo.

La cicloide ha sido llamada «La Helena de los geómetras» ya que causó frecuentes disputas entre matemáticos del siglo XVII.[1]

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos como descubridores de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo del filósofo sirio Jámblico como evidencia de que la curva era probablemente conocida en la antigüedad.[2] Por su parte, en 1679 el matemático inglés John Wallis atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa,[3] pero los eruditos posteriores indicaron que o bien Wallis estaba equivocado o bien las pruebas utilizadas por Wallis habían desaparecido.[4] El nombre de Galileo Galilei fue presentado al final del siglo XIX[5] y al menos un autor da el crédito a Marin Mersenne (monje, antiguo amigo de Descartes).[6] A partir de la obra de Moritz Cantor[7] y de Siegmund Günther,[8] los estudiosos dan ahora prioridad al matemático francés Charles de Bovelles[9] [10] [11] basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam, publicado en 1503.[12] En esta obra, Bovelles identifica erróneamente el arco trazado por una rueda de rodadura como parte de un círculo mayor con un radio un 120% más grande que la rueda más pequeña.[4]

Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio serio de la curva.[4] Según su discípulo Evangelista Torricelli,[13] en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (construcción de un cuadrado con un área igual al área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que involucraba el trazado tanto del círculo generador como de la cicloide resultante sobre una hoja de metal, para luego cortarlos y pesarlos. Descubrió que la relación era de aproximadamente 3:1, pero de forma incorrecta concluyó que la relación era una fracción irracional, lo que hacía imposible la cuadratura.[6] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente supo del problema de la cuadratura por Mersenne y lo resolvió en 1634 mediante el uso del teorema de Cavalieri.[4] Sin embargo, este trabajo no fue publicado hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles).[14]

La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió los métodos propios de Roberval, Pierre de Fermat y Descartes. Mersenne envió estos resultados a Galileo, quien a su vez se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviana, que fueron capaces de producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644,[13] en la primera obra impresa sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, acabando la controversia por la muerte temprana de Torricelli en 1647.[14]

En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.

En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. La cicloide se emplea para resolver el problema de la Tautócrona (descubierto por Christian Huygens), en el que si se desprecia el rozamiento y si se invirtiese una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, ésta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.

Entre los autores de demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante razonamientos efectivos y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide, empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.

Como ya se ha señalado, debido a las continuas disputas entre los matemáticos del siglo XVII la cicloide ha sido denominada "La Helena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan que esta denominación poética podría hacer referencia a las bellas propiedades de esta curva, que atrajeron a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blaise Pascal lanzó un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar, ya sea en torno al eje de las abcisas, o en torno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que posteriormente han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.

Ecuaciones[editar]

Ecuación paramétrica[editar]

Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio a que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:

\begin{cases} x = a \left(t - \sin{t}\right) \\ y = a \left(1 - \cos{t}\right) \end{cases}

donde t es un parámetro real. Siendo la variable y función de la variable x, esta cicloide tiene un período de 2a\pi, y una altura de 2a.

Ecuación cartesiana[editar]

Si se despeja la variable t en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:

x= a \arccos{\left(1-\frac{y}{a}\right)}-\sqrt{2a y-y^2},

donde el único parámetro de forma es el radio a de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable y en el intervalo [0,2a], y proporciona sólo la mitad del primer bucle de la cicloide.

Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:

x= a \pi \left[n + 1/2 \left[ \left(-1\right)^n -1 \right]\right] -(-1)^n\left[\arccos{\left(1-\frac{y}{a}\right)}-\sqrt{2ay - y^2}\right]

Ecuación intrínseca[editar]

La ecuación en forma intrínseca es:

\rho^2 + s^2= 16 a^2 \,

Donde igualmente \rho representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea.

Tipos de cicloide[editar]

Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:

  • cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a),
  • cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b),
  • cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (b > a).

Donde la circunferencia tiene radio a, y la distancia del centro al punto P es b.

Usos[editar]

En el diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del siglo XX. En la actualidad solo se utilizan en mecanismos de relojería, puesto que generalmente se prefiere la evolvente del círculo. En Física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.[cita requerida]

Un uso práctico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronaútica, pues se requería una forma apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.[cita requerida]

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Cajori, Florian (1999). A History of Mathematics. Nueva York: Chelsea. p. 177. ISBN 978-0-8218-2102-2. 
  2. Tannery, Paul (1883), «Pour l'histoire des lignes et surfaces courbes dans l'antiquité», Bulletin des sciences mathèmatique (Paris): 284  (citado en Whitman 1943);
  3. Wallis, D. (1695). «An Extract of a Letter from Dr. Wallis, of May 4. 1697, Concerning the Cycloeid Known to Cardinal Cusanus, about the Year 1450; and to Carolus Bovillus about the Year 1500». Philosophical Transactions of the Royal Society of London 19 (215–235): 561. doi:10.1098/rstl.1695.0098.  (Citado en Günther, p. 5)
  4. a b c d Whitman, E. A. (May 1943), «Some historical notes on the cycloid», The American Mathematical Monthly 50 (5): 309–315, doi:10.2307/2302830  Plantilla:Subscription required
  5. Cajori, Florian, A History of Mathematics (5th edición), p. 162, ISBN 0-8218-2102-4 (Note: The first (1893) edition and its reprints state that Galileo invented the cycloid. According to Phillips, this was corrected in the second (1919) edition and has remained through the most recent (fifth) edition.)
  6. a b Roidt, Tom (2011). Cycloids and Paths (MS). Portland State University. p. 4. 
  7. Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Leipzig: B. G. Teubner, OCLC 25376971 
  8. Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften, Leipzig: Druck und Verlag Von B. G. Teubner, p. 352, OCLC 2060559 
  9. Phillips, J. P. (May 1967), «Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid—Apple of Discord», The Mathematics Teacher 60 (5): 506–508 Plantilla:Subscription required
  10. Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: An Intellectual Biography, p. 42, ISBN 978-2-600-03073-1 
  11. Martin, J. (2010). «The Helen of Geometry». The College Mathematics Journal 41: 17-28. doi:10.4169/074683410X475083. 
  12. de Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam ... Liber de quadratura circuli. Liber de cubicatione sphere. Perspectiva introductio., OCLC 660960655 
  13. a b Torricelli, Evangelista (1644), Opera geometrica, OCLC 55541940 
  14. a b Walker, Evelyn (1932), A Study of Roberval's Traité des Indivisibles, Columbia University  (cited in Whitman 1943);


Referencias[editar]

  • Curvas en la Historia, Volumen I, José Manuel Álvarez, Ed. Nivola ciencia abierta 12, 2006.
  • A Catalog of Special Plane Curves, J. Dennis Lawrence, with 98 Ilustrations, Dover Publications, New York. 1972. (Capítulo 7 Trascendental Curves).

Enlaces externos[editar]