Función beta

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Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.

En matemáticas, la función beta[1] es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

Definición[editar]

Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

e^{x+y} = e^x\,e^y.

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para x e y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto \Gamma(x) \Gamma(y):

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = \int_0^\infty  s^{x-1}\,e^{-s}\,ds\,\int_0^\infty  t^{y-1}\,e^{-t}\,dt = \int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty  s^{x-1}t^{y-1}\,e^{-s-t}\,ds\,dt

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables t = u^2 y s = v^2:

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty  u^{2x-1}v^{2y-1}\,e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv.

Pasando a coordenadas polares u = r\cos\theta, v=r\sin\theta esta integral doble arroja

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\,\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}r^{2(x+y-1)}e^{-r^2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,r\,dr\,d\theta

Haciendo t = r^2 obtenemos

\begin{align}\Gamma(x)\,\Gamma(y) &= 2\,\int_0^\infty t^{x+y-1}e^{-t}\,dt \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta\\
&= 2\Gamma(x+y)\int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta
\end{align}

Definiendo la función beta

\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta,

se obtiene

\Gamma(x)\Gamma(y) = \Gamma(x+y)\,\Beta(x,y).

Propiedades[editar]

  1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
    \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.
  2. La función beta es simétrica
    \Beta(x,y) = \Beta(y,x).\,
  3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta
    
\Beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
    
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt

Derivadas[editar]

Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

donde \psi(x) es la función digamma.

Aplicación[editar]

Puesto que \Gamma(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

\Beta(1/2,1/2) = \pi = \Gamma^2(1/2)\,

de donde \Gamma(1/2) = \sqrt\pi.

Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular

\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt.

Entonces podemos[2]

\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,dt = \int_0^{\pi/2}\cos^{2(n+1)/2-1}(t)\,\sin^{2(1/2)-1}(t)dt = \frac{1}{2}\,\Beta \left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right).

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos


\Beta\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma[(n+1)/2]\Gamma(1/2)}{\Gamma(n/2+1)} 
= \frac{\sqrt\pi\,\Gamma[(n+1)/2]}{\Gamma(n/2 + 1)}.

De manera que


\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,dt = \frac{\sqrt\pi\,\Gamma[(n+1)/2]}{2\,\Gamma(n/2 + 1)} = \begin{cases}
\displaystyle{\frac{2^{2k}(k!)^2}{(2k+1)!}}&\ \mathrm{si}\ n = 2k+1;\\
\displaystyle{\frac{\pi\,(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^2}}&\  \mathrm{si}\ n = 2k.
\end{cases}

Función beta incompleta[editar]

La función beta incompleta, es una generalización de la función beta, se define como

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

Para x = 1, la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) es definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Llamada también funcón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
  2. Este resultado es válido, aun si se considera a n como un número complejo cuya parte real es mayor que -1

Enlaces externos[editar]