Función beta

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.

En matemáticas, la función beta[1] es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

Definición[editar]

Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para e , dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto :

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables y :

Pasando a coordenadas polares , esta integral doble arroja

Haciendo obtenemos

Definiendo la función beta

se obtiene

Propiedades[editar]

  1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
  2. La función beta es simétrica
  3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta

Derivadas[editar]

Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma

donde es la función digamma.

Aplicación[editar]

Puesto que , se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

de donde .

Supongamos que es un entero no negativo y queremos calcular

Entonces podemos[2]

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos

De manera que

Función beta incompleta[editar]

La función beta incompleta, es una generalización de la función beta, se define como

Para x = 1, la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) es definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Llamada también funcón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
  2. Este resultado es válido, aun si se considera a como un número complejo cuya parte real es mayor que -1

Enlaces externos[editar]