Diferencia entre revisiones de «Grupo resoluble»
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* <math>A_5</math> es un grupo '''no resoluble''', ya que se conoce que <math>A_5</math> es [[Grupo simple|simple]], por lo que la única cadena posible es <math>1\triangleleft A_5</math>, pero <math>A_5</math> no es abeliano, dado que <math>(12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)</math>. |
* <math>A_5</math> es un grupo '''no resoluble''', ya que se conoce que <math>A_5</math> es [[Grupo simple|simple]], por lo que la única cadena posible es <math>1\triangleleft A_5</math>, pero <math>A_5</math> no es abeliano, dado que <math>(12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)</math>. |
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* Sea el grupo multiplicativo G={x|x es raíz octava de 1} y sus subgrupos multiplicativos <math>G_{0}={1}, G_{1}={1,-1}, G_{2}={1,-1,i,-i}</math>. |
* Sea el grupo multiplicativo G={x|x es raíz octava de 1} y sus subgrupos multiplicativos <math>G_{0}=\{1\}, G_{1}=\{1,-1\}, G_{2}=\{1,-1,i,-i\}</math>. |
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Se tiene <math>G_{0}</math> ≤ <math>G_{1}</math> ≤ <math>G_{2}</math> ≤ <math>G</math> |
Se tiene <math>G_{0}</math> ≤ <math>G_{1}</math> ≤ <math>G_{2}</math> ≤ <math>G</math> |
Revisión del 01:06 31 jul 2014
Definición
Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos tal que:
donde para cada se cumple que:
- es subgrupo normal en , notado usualmente como .
- El grupo cociente es abeliano.
A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre , según Serge Lang.
Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos y . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:
- donde para todo i.
El grupo es soluble si existe tal que .
Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo y un subgrupo normal , se tiene que es abeliano si y solo si .
Ejemplos
- Todo grupo abeliano es resoluble, ya que y , dado que y además , por lo que es abeliano.
- es resoluble. Basta ver que es una torre abeliana, con el grupo alternado para .
- es resoluble. Basta ver que , es una torre abeliana de , donde .
- es resoluble. Se puede ver que es una torre abeliana de .
- es un grupo no resoluble, ya que se conoce que es simple, por lo que la única cadena posible es , pero no es abeliano, dado que .
- Sea el grupo multiplicativo G={x|x es raíz octava de 1} y sus subgrupos multiplicativos .
Se tiene ≤ ≤ ≤
Propiedades
- Toda imagen A' de un grupo finito resoluble A es también resoluble.
- Si una ecuación g(x) = 0, (g polinomio) con coeficientes en K es resoluble por radicales, su grupo de Galois sobre K es resoluble.
Importancia
Porque está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas.