Teoría cuántica de campos

Dispersión de neutrones. La dispersión inelástica de neutrones en un cristal es el resultado de la interacción de un neutrón lanzado contra los átomos de la red cristalina en vibración. En teoría cuántica de campos, el proceso se modeliza de manera más sencilla al introducir los cuantos de las ondas sonoras del cristal, los fonones, entendiéndolo como la absorción o emisión de un fonón por el neutrón.

Partículas y campos, clásicos y cuánticos. Las nociones clásicas de partícula y campo comparadas con su contrapartida cuántica. Una partícula cuántica está deslocalizada: su posición se reparte en una distribución de probabilidad. Un campo cuántico es equivalente a un colectivo de partículas cuánticas.

La teoría cuántica de campos (también denominada teoría de campos cuánticos, TCC​ o QFT, sigla en inglés de quantum field theory) es una disciplina de la física que aplica los principios de la mecánica cuántica a los sistemas clásicos de campos continuos, como por ejemplo el campo electromagnético. Una consecuencia inmediata de esta teoría es que el comportamiento cuántico de un campo continuo es equivalente al de un sistema de partículas​ cuyo número no es constante, es decir, que pueden crearse o destruirse.​

Su principal aplicación es la física de altas energías, donde se combina con los postulados de la relatividad especial. En ese régimen es capaz de acomodar todas las especies de partículas subatómicas conocidas y sus interacciones, así como de realizar predicciones muy genéricas, como la relación entre espín y estadística, la simetría CPT, la existencia de antimateria, etc.​

También es una herramienta habitual en el campo de la física de la materia condensada, donde se utiliza para describir las excitaciones colectivas de sistemas de muchas partículas y explicar fenómenos como la superconductividad, la superfluidez o el efecto Hall cuántico.​

En particular, la teoría cuántica del campo electromagnético, conocida como electrodinámica cuántica, fue el primer ejemplo de teoría cuántica de campos que se estudió y es la teoría física probada experimentalmente con mayor precisión.​ Los fundamentos de la teoría de campos cuántica fueron desarrollados entre las décadas de 1920 y 1950 por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman y Dyson, entre otros.

Historia

Richard Feynman, Shin'ichirō Tomonaga y Julian Schwinger recibieron el premio Nobel de física en 1965 por el desarrollo de la electrodinámica cuántica.

El desarrollo de la teoría cuántica de campos se llevó a cabo simultáneamente con el de la propia mecánica cuántica.​ Entre 1926 y 1928 se desarrollaron los primeros intentos de encontrar una ecuación de onda relativista, debidos a Erwin Schrödinger y a Paul Dirac.

Por otro lado, en 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Max Born calcularon el espectro de energías de la radiación electromagnética en ausencia de cargas eléctricas —el problema del cuerpo negro—, en el primer ejemplo de teoría cuántica de campos aplicada al campo electromagnético. Esto condujo a una reformulación de las mencionadas ecuaciones de onda relativistas, conocida como segunda cuantización, de forma que pasaron a describir campos en lugar de funciones de onda. Esta reinterpretación fue llevada a cabo por Heisenberg, Wolfgang Pauli, Vladimir Fock, Wendell Furry, Robert Oppenheimer y Victor Weisskopf.

A pesar de sus éxitos iniciales, la teoría cuántica de campos tenía problemas teóricos muy serios. El cálculo de muchas cantidades físicas en apariencia ordinarias, como las pequeñas correcciones a los niveles energéticos del electrón en el átomo de hidrógeno causadas por efectos relativistas y de acoplamiento de momentos angulares —la llamada estructura fina— daba un valor infinito, un resultado sin sentido. Este «problema de las divergencias» fue resuelto durante las décadas de 1930 y 1940 por Julian Schwinger, Freeman Dyson, Richard Feynman y Shin'ichiro Tomonaga entre otros, mediante una técnica conocida como renormalización. Esta etapa culminó con el desarrollo de la moderna electrodinámica cuántica —QED, por Quantum Electrodynamics—. La técnica de los diagramas de Feynman, un procedimiento gráfico de cálculo desarrollado por Richard Feynman, se convirtió en una de las herramientas básicas de la teoría cuántica de campos.

En la década de 1950 QED fue generalizada a una clase más general de teorías conocidas como teorías gauge, comenzando con el trabajo de Chen Ning Yang y Robert Mills.​A finales de la década de 1960, Sheldon Glashow, Abdus Salam y Steven Weinberg unificaron las interacciones electromagnética y débil en la teoría electrodébil —una teoría gauge— mediante el concepto de ruptura espontánea de simetría, introducido originariamente para explicar la superconductividad.​

Sin embargo, no fue hasta la década de 1970 que quedó establecido el modelo estándar de la física de partículas. El modelo de unificación electrodébil no recibió especial atención hasta que, en 1971, Gerardus 't Hooft y Martinus Veltman demostraron que las teorías con simetrías rotas espontáneamente podían ser renormalizadas.​ Por otro lado, la intensidad de las interacciones fuertes entre hadrones fue un desafío para los teóricos de campos hasta el desarrollo del concepto de la libertad asintótica de los quarks por Frank Wilczek, David Gross y Hugh David Politzer en 1973.​

También durante la década de 1970, la teoría cuántica de campos «rompió los grilletes de los diagramas de Feynman», al descubrirse que las soluciones no perturbativas de las ecuaciones de los campos clásicos juegan un papel crucial a nivel cuántico.​Además, la actitud hacia la técnica de la renormalización y hacia la teoría cuántica de campos en general fue cambiando progresivamente, gracias a los avances de —entre otros— Kenneth Wilson en física de la materia condensada. La aparición de los infinitos pasó de ser considerada una «patología» a «simplemente un recordatorio de una limitación práctica: no conocemos qué ocurre a distancias mucho más pequeñas que aquellas que podemos observar directamente».​

Principios básicos

Motivaciones y definición

Limitaciones en la mecánica cuántica

La ecuación de Schrödinger, una de las más importantes de la mecánica cuántica, describe la evolución de un sistema cuántico en el tiempo.​ La forma convencional de esta ecuación es:​

(1)$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$

donde Ψ(r) = Ψ(r₁, ..., r_n) es la función de onda de n partículas, cuyas posiciones vienen dadas por los vectores r_i; m es la masa de las partículas, V su energía potencial y ∇² es el operador diferencial nabla. Sin embargo, en esta forma básica, la ecuación de Schrödinger no es capaz de describir algunos aspectos de ciertos sistemas físicos:

Creación y destrucción

Durante la evolución de este sistema, el número de partículas se mantiene finito e invariable —a saber, n—. Sin embargo, en experimentos de altas energías es corriente que el número de partículas varíe —por ejemplo en la desintegración de un neutrón, o la aniquilación de un electrón y un positrón en fotones—, como consecuencia de la famosa relación masa-energía de la relatividad. Además, en el contexto de física del estado sólido, las excitaciones de un colectivo de átomos se reinterpretan como cuasipartículas, como el fonón,​ cuyo número es también variable. La ecuación de Schrödinger (1) no es apropiada para describir estos sistemas en el que el número de cuerpos no es fijo.​​

Invariancia relativista

Esta ecuación no refleja las propiedades de la cinemática relativista. Su límite clásico describe el movimiento de una partícula bajo las leyes de la mecánica galileana, en lugar de la mecánica relativista: el primer término de la izquierda en (1) se corresponde con la energía cinética no relativista p²/2m,​ en lugar de la expresión relativista (p² + m²)^1/2, donde p es el momento de la partícula. ​

Campo clásico

Las interacciones entre las n partículas del sistema tienen lugar mediante fuerzas a distancia, dadas por el potencial V. Sin embargo, en la física clásica existen sistemas más generales, que no pueden entenderse mediante este esquema. Es por ejemplo el caso de un conjunto de cargas eléctricas en movimiento: para describir su evolución es necesario tener en cuenta de forma independiente a las propias partículas cargadas, así como también al campo electromagnético que generan.​ En general, la ecuación (1) no es válida para sistemas de campos continuos.

Es posible modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla consistente con los principios de la relatividad especial, dando por resultado la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac. Sin embargo, estas tienen muchas propiedades insatisfactorias: por ejemplo, predicen la existencia de partículas con energía negativa, de modo que el sistema resulta ser inestable.​ Estos defectos son debidos a que dichas ecuaciones tampoco contemplan la posibilidad de que las partículas puedan crearse o destruirse y, como se menciona en el primer epígrafe, es inconsistente suponer una teoría relativista con un número constante de partículas en interacción.​​

Definición de campo cuántico

Una teoría cuántica de campos es el resultado de aplicar las reglas de cuantización al sistema de una teoría clásica de campos.​ Esto permite estudiar los aspectos cuánticos de los campos continuos, como el campo electromagnético. Las reglas de cuantización dictan que un sistema clásico descrito por coordenadas q_i pasa a estar descrito por una función de onda Ψ(q_i). A cada cantidad observable —como las propias coordenadas q_i, los momentos p_i, etc.— le corresponde un operador actuando sobre esta función de onda. Esquemáticamente:

Cuantización de partículas

	Teoría clásica	Teoría cuántica
Estado del sistema	Coordenadas qi	Función de onda Ψ(qi)
Cantidades medibles	qi, pi, funciones O(qi,pi)	Operadores $\scriptstyle {\hat {Q}}_{i},\,{\hat {P}}_{i},\,O({\hat {Q}}_{i},{\hat {P}}_{i})$

Una teoría clásica de campos describe un tipo particular de sistema clásico, cuyas coordenadas son campos: funciones definidas en cada punto r del espacio y que evolucionan en el tiempo, φ(r). Las reglas de cuantización dictan que a cada una de estas coordenadas le corresponde a su vez un operador.​ Sin embargo, la cuantización de un campo presenta aspectos singulares. Las reglas de cuantización aplicadas a un campo continuo revelan que sus posibles estados se corresponden, no con una función de onda Ψ(q_i), sino con los de un colectivo de partículas cuánticas idénticas cuyo número no es necesariamente constante. Esquemáticamente:

Cuantización de campos

	Teoría clásica	Teoría cuántica
Estado del sistema	Funciones φ(r)	Estados con 0 partículas, 1 partícula Ψ(q), 2 partículas Ψ(q1,q2), etc.
Cantidades medibles	φ(r), derivadas ∂φ(r), funcionales O(φ(r),∂φ(r))	Operadores $\scriptstyle {\hat {\varphi }}(\mathbf {r} ),\,\partial {\hat {\varphi }}(\mathbf {r} ),\,O({\hat {\varphi }}(\mathbf {r} ),\partial {\hat {\varphi }}(\mathbf {r} ))$

Debido a esta propiedad, la teoría cuántica de campos es la herramienta básica para estudiar sistemas de partículas cuyo número varía —que pueden crearse y destruirse—, como las colisiones relativistas o las cuasipartículas en física del estado sólido.​​

Límite continuo. En la aproximación de límite continuo, una cadena de átomos en vibración se modeliza mediante un campo continuo φ(x).

Modos normales. Los modos normales de un sistema físico son sus vibraciones colectivas más simples, como las de esta membrana elástica.

Segunda cuantización. Un sistema de dos osciladores cuánticos es equivalente a un sistema con un número variable de partículas de dos clases. (Más información)

Segunda cuantización

El proceso de aplicar las reglas de cuantización a un campo e identificar sus posibles estados cuánticos con los de un colectivo de partículas se denomina segunda cuantización.​​ Para ello se explota la analogía que existe entre campo y osciladores, teniendo en cuenta los rasgos particulares de estos últimos en mecánica cuántica.

Campo versus osciladores

Véanse también: Mecánica de medios continuos y Oscilador armónico cuántico.

En mecánica clásica, un campo continuo es equivalente a un conjunto de múltiples osciladores acoplados entre si. El ejemplo habitual para entender esta equivalencia es un sólido elástico. Este sistema puede describirse macroscópicamente mediante, por ejemplo, la densidad o la tensión en cada punto del mismo; cantidades que se representan mediante campos continuos. Por otro lado, también es posible describir el sólido como una red de partículas que ejercen fuerzas elásticas entre sí —como si estuvieran unidas por muelles imaginarios—, lo que conforma un sistema de osciladores acoplados. La primera descripción —el campo y sus ecuaciones— es una aproximación de la segunda —los osciladores— cuando se considera la separación media entre partículas muy pequeña, o dicho de otro modo, en el límite continuo.​

Esta equivalencia también se refleja en la evolución en el tiempo de estos sistemas. Visto como un conjunto de osciladores acoplados, las vibraciones (clásicas) de los átomos en el sólido son una superposición de sus modos normales: sus vibraciones colectivas elementales, o armónicos. Visto como un continuo de materia, las ondas de —por ejemplo— la densidad del sólido son una superposición de ondas planas, las ondas más simples. Cada modo normal o armónico del conjunto de osciladores se corresponde con una cierta onda plana del campo en el límite continuo.

Osciladores acoplados	${\xrightarrow {\quad \qquad \qquad }}$ Límite continuo	Campo continuo
Dinámica en   términos de:		Dinámica en   términos de:
Modos normales	${\xrightarrow {\quad \qquad \qquad }}$ Límite continuo	Ondas planas

Existen campos clásicos que no se corresponden con el límite clásico de ningún sistema mecánico, como por ejemplo el campo electromagnético. Sin embargo, la analogía matemática de sus ecuaciones con las de un sistema de osciladores abstractos sigue siendo válida.​ Las características propias del campo cuántico aparecen al explotar en mecánica cuántica esta equivalencia entre osciladores y campo. La energía de un oscilador armónico cuántico está cuantizada, de modo que sólo puede ser un múltiplo de su frecuencia ω:​

$E({\scriptstyle {\text{oscilador}}})=\hbar \omega \,N\,,$

donde ℏ es la constante de Planck y N = 0, 1, 2, ... es un número entero no negativo. En un sistema de osciladores cuánticos acoplados la energía también está discretizada, y es la suma de la energía de cada modo normal, visto como un oscilador independiente:

(2)$E({\scriptstyle {\text{osciladores}}})=\hbar \omega _{\text{modo 1}}N_{\text{modo 1}}+\hbar \omega _{\text{modo 2}}N_{\text{modo 2}}+\hbar \omega _{\text{modo 3}}N_{\text{modo 3}}+...\,,$

donde cada ω_{modo i} es la frecuencia de un modo normal y cada N_{modo i} = 0, 1, 2, ... el nivel de excitación de dicho modo.

Sin embargo, esta energía es la misma que tendría un sistema de múltiples partículas si los posibles valores para su energía fueran los ℏω_{modo i} y el número de partículas en cada uno de esos niveles de energía fuera precisamente N_{modo i}. El número de estas cuasipartículas depende de la manera precisa en la que vibre el conjunto de osciladores. Por ejemplo, si N_{modo 5} = 2, el oscilador correspondiente al modo 5 está en su 2º nivel, y tiene la misma energía que un sistema de dos partículas, cada una de ellas con energía ℏω_{modo 5}. Esta igualdad no se limita a una coincidencia en el valor de la energía: las propiedades físicas de ambos estados son idénticas, aunque describen sistemas distintos. En resumen, las vibraciones de un conjunto de osciladores cuánticos acoplados se comportan como partículas cuánticas de número variable. En el caso particular de un sólido elástico, a estas cuasipartículas se las denomina fonones.

Este razonamiento también se aplica en el caso de un campo cuántico. Sus ecuaciones son un límite de las ecuaciones de un sistema de osciladores, abstractos o no. Al descomponer el campo en ondas planas, su energía viene dada por la ecuación (2) y sus posibles estados se corresponden con un colectivo de partículas de número variable.​

Espacio de Fock

El espacio de estados del sistema de partículas obtenido a partir del campo cuántico se denomina un espacio de Fock.​ Un estado de este sistema queda especificado por el número de partículas en cada nivel de energía ℏω_{modo i} o, de manera equivalente, por el número cuántico N_{modo i} de cada modo normal en la ecuación (2); los llamados números de ocupación.​ Esto se denota de manera más compacta como:

Estados del sistema: $|N_{1},\,N_{2},\,N_{3},\ldots \rangle$

Por ejemplo, en el caso de cuatro partículas, en los estados 1.º, 2.º, 2.º y 4.º, el estado total del sistema se describe como |1, 2, 0, 1, 0, ...〉, especificando: una partícula en el primer estado, dos en el segundo, ninguna en el tercero, una en el cuarto, ninguna en el quinto, etc. Al estado sin ninguna partícula |0〉 ≡ |0, 0, 0, ...〉, en el que todos los niveles de energía están desocupados, se le denomina el vacío.​

Un rasgo importante de la cuantización del campo es que las partículas obtenidas son indistinguibles. Por ejemplo, dado el estado |1, 1, 0, 0, ...〉, donde una partícula está en el 1.^er nivel de energía y otra en el 2.º, al intercambiar dichas partículas no se obtiene un estado distinto: sigue habiendo una partícula en el nivel 1 y otra en el nivel 2. Además, no hay límite al número de partículas en cada nivel, ya que los números cuánticos N_{modo i} pueden ser arbitrariamente grandes. Esto significa que las partículas del sistema son bosónicas.​ Para trabajar con un sistema de fermiones, es necesario modificar el formalismo.

Dinámica del campo cuántico

Campo cuántico libre

La analogía entre osciladores y campo de la segunda cuantización se aplica directamente en el proceso de cuantización de un campo libre, aquel cuyas ecuaciones de campo son lineales. La equivalencia con un sistema de osciladores armónicos acoplados es exacta, y la energía del campo viene dada por la ecuación (2): es la suma de la energía de cada partícula individual. Puesto que no hay contribuciones adicionales, las partículas son libres y no interaccionan entre sí, de ahí el nombre de campo libre.​ Como consecuencia de la ausencia de interacción, el número de dichas partículas permanece constante.​ Existen sutilezas a tener en cuenta dependiendo del tipo de campo involucrado, o en el caso fermiónico, aunque el proceso y resultados básicos son los mismos.​

Fermiones

Las excitaciones de un campo toman la forma de un conjunto de bosones, visto este como el límite clásico de un conjunto de osciladores. Sin embargo existen multitud de partículas llamadas fermiones —como el electrón y el protón— que respetan el principio de exclusión de Pauli, de modo que sus números de ocupación solo pueden valer 0 o 1. Este formalismo de segunda cuantización intuitivo no es capaz de describir un conjunto de fermiones.​

El origen de la estadística bosónica de las excitaciones del campo puede rastrearse hasta las reglas de cuantización utilizadas para este. Existen unas leyes de conmutación canónicas propias de todo sistema cuántico, que especifican el comportamiento del operador campo y su momento conjugado π(r). Estas implican que sus estados cuánticos son simétricos y corresponden a bosones. Puesto que los estados de múltiples fermiones deberían ser antisimétricos, para obtener un sistema de fermiones cuantizando un campo ψ, se imponen reglas con el signo incorrecto, es decir, de anti-conmutación. La elección de este signo —y con él, la estadística de las partículas resultantes— no es arbitraria, sino que existe una relación entre el espín y la estadística.

Espín y estadística

Véase también: Teorema espín-estadística

La teoría de campos concreta que es cuantizada determina las propiedades de las partículas que aparecen como sus modos normales. En particular, el tipo de campo determina el espín de las mismas. Algunos ejemplos son:​

• Un campo escalar que obedece la ecuación de Klein-Gordon resulta en una teoría de bosones de espín 0, como ciertos mesones.
• Un campo espinorial que obedece la ecuación de Dirac resulta en una teoría de fermiones de espín 1/2, como los electrones o los protones.
• Las ecuaciones del campo electromagnético —un campo vectorial— producen una teoría de bosones de espín 1, los fotones.

Estas teorías de campos son relativistas: sus ecuaciones correspondientes respetan la simetría Lorentz. Las partículas que aparecen en la versión cuántica de dichas teorías también lo son: se rigen por la cinemática relativista. De este modo, una teoría cuántica de campos es capaz de describir la dinámica de partículas cuánticas de acuerdo con la relatividad especial. También se utilizan teorías cuánticas de campos no relativistas: es el caso por ejemplo de la teoría de los fonones.

Estos ejemplos respetan la relación empírica que existe entre el espín y la estadística de las partículas: el espín de un bosón —fermión— toma siempre valores enteros —semienteros—. Si se intenta la cuantización de un campo escogiendo la estadística contraria —por ejemplo cuantizando el campo escalar con reglas de anticonmutación, intentando obtener fermiones; o viceversa para el campo espinorial— se obtienen resultados físicamente inconsistentes.​ Puede probarse que esto es general: en teoría cuántica de campos esta relación entre espín y estadística se demuestra como consecuencia directa de la unión entre mecánica cuántica y relatividad especial, el llamado teorema espín-estadística.​

Algunas de estas teorías de campos fueron investigadas inicialmente como ecuaciones de Schrödinger relativistas para un cuerpo, sin éxito. Esto motivó el nombre de segunda cuantización: los campos a los que se aplicaban las reglas de cuantización eran funciones de onda, obtenidas a su vez de aplicar esas reglas a una partícula puntual.​

Campo cuántico en interacción

Si la teoría de campos que se cuantiza es no lineal, las partículas que se obtienen interaccionan entre sí. En estas teorías las ecuaciones del campo son no lineales, involucrando productos de campos. De otro modo, la energía del sistema, representada por el operador hamiltoniano,​ presenta un término de interacción —similar a un potencial V— no cuadrático: involucra productos de tres o más campos.​ La gran mayoría de las teorías con interés para la física incluyen términos de interacción. La expresión siguiente para H_int (el potencial o hamiltoniano de interacción) proporciona diversos ejemplos:

${\mathcal {H}}_{\textrm {int}}(\mathbf {r} )=g\underbrace {\varphi (\mathbf {r} ){\bar {\Psi }}(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} )} _{\textrm {3\ campos(Yukawa)}}+\overbrace {\lambda \Phi (\mathbf {r} )^{4}} ^{\textrm {4\ campos(Higgs)}}+e\underbrace {A_{\mu }(\mathbf {r} ){\bar {\psi }}(\mathbf {r} )\gamma ^{\mu }\psi (\mathbf {r} )} _{\textrm {3\ campos(QED)}}+\ldots$

• La interacción de Yukawa describe las fuerzas entre nucleones —neutrones y protones, campo Ψ— mediadas por mesones (piones de hecho, campo φ).​ El término de interacción es proporcional a φΨΨ.
• El campo de Higgs es un hipotético mediador entre todas las partículas elementales en el modelo estándar. Viene representado por Φ y un bosón de espín 0 asociado. Los propios bosones de Higgs interaccionan entre sí, con un término dado por Φ⁴.
• La electrodinámica cuántica es la teoría cuántica que describe la interacción entre radiación —fotones, campo A_μ— y fermiones cargados —como electrones o quarks, descritos por un campo espinorial ψ—. El término de interacción es de la forma Aψψ.

Acompañando a cada producto de campos, hay una constante numérica, llamada constante de acoplo, que calibra lo intensa que es la interacción.​ Por ejemplo, en el tercer término, e es la carga eléctrica del electrón.​ Para el cálculo de observables, como probabilidades de scattering en un experimento de física de partículas, en general no se conoce como tratar estos términos de forma exacta y se trabaja con ellos de manera perturbativa, mediante diagramas de Feynman.​

En una teoría de campos en interacción el número de partículas puede variar, lo que permite describir sistemas en los que el número de partículas presentes no es constante. Esto es debido a la presencia de los términos no cuadráticos: necesariamente contienen productos de operadores destrucción y creación en un número descompensado.​ Otra consecuencia de la interacción entre campos cuánticos es la presencia de antipartículas: si las partículas de un cierto sistema interaccionan entre sí y poseen alguna carga cuyo valor se conserva —como la carga eléctrica o la carga de color—, para poder describirlo mediante una teoría cuántica de campos es necesario asumir la existencia de una «copia» para cada partícula, con idéntica masa pero carga opuesta.​

Enfoques alternativos

Véanse también: Teoría cuántica de campos axiomática y Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo.

La descripción de la teoría cuántica de campos como la cuantización canónica de un campo y la subsecuente asociación a un sistema de partículas de número indeterminado es uno de los enfoques mayoritarios para definirla. Sin embargo existen otras maneras de presentar y estudiar la teoría. El formalismo de la integral de caminos es equivalente a la cuantización canónica, y puede tomarse como postulado inicial.​ Otra posibilidad, en el contexto de la física de altas energías, es derivar las leyes más generales posibles que aúnen mecánica cuántica y relatividad especial, para describir el comportamiento de las partículas subatómicas. Estas leyes necesariamente toman la forma de una teoría cuántica de campos.​ Ambas posibilidades son complementarias en cuanto a lo que consideran inicialmente más fundamental: el campo o las partículas.

Desde un punto de vista matemático, la teoría cuántica de campos no posee el mismo nivel de rigor que la mecánica cuántica más elemental. Esto ha motivado el interés de estudiarla con un enfoque formal o axiomático, intentando encontrar estructuras matemáticas completamente rigurosas que capturen sus características principales.​ El caso particular del campo de Yang-Mills constituye el enunciado de uno de los problemas del milenio.

Existen también generalizaciones de la teoría cuántica de campos en distintos contextos. La teoría de campos a temperatura finita describe procesos termodinámicos con creación y destrucción de partículas, e incorpora modificaciones similares a las de la física estadística cuántica. La teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo es el formalismo necesario para describir el campo cuántico en presencia de gravedad.

Aspectos clave

Diagramas de Feynman

Los experimentos de física de altas energías involucran habitualmente colisiones de partículas a altas velocidades.​ La teoría cuántica de campos permite calcular los detalles de dichas colisiones, a partir de la probabilidad​ M de que estas ocurran:

${\mathcal {M}}_{\alpha \to \beta }=\langle \beta {\text{ fin}}|S|\alpha {\text{ ini}}\rangle$

Esta expresión relaciona la probabilidad de encontrar las partículas β tras la colisión, partiendo de las partículas α,​ en términos de S, la llamada matriz de scattering: un operador que recoge la evolución del sistema durante el experimento. Este operador puede obtenerse mediante un desarrollo perturbativo, en términos del hamiltoniano de interacción:​

$S=1-ig{\hat {H}}_{\text{int}}-g^{2}{\hat {H}}_{\text{int}}^{2}+\ldots \$,

donde se ha escrito explícitamente la constante de acoplo g. Este desarrollo supone que la interacción es débil o pequeña, frente a la probabilidad de no interacción.

Los diagramas —o reglas— de Feynman son una técnica para calcular dicha probabilidad de manera gráfica. Estos diagramas representan todos las posibles versiones subyacentes a un proceso dado: las partículas en interacción emiten o absorben un cierto número de partículas virtuales, que median las fuerzas entre ellas. Estos procesos virtuales ocurren debido a la incertidumbre inherente a una teoría cuántica. La energía necesaria para la aparición de estas partículas virtuales proviene de la relación de incertidumbre entre energía y tiempo:

$\Delta E\cdot \Delta t\sim \hbar$,

de modo que estas «existen» por muy poco tiempo. En realidad, las partículas virtuales son sólo una abstracción y no pueden detectarse. El proceso físico real —la colisión— se entiende como una suma de todos estos procesos virtuales.​ Por ejemplo, en el estudio de la dispersión Compton de un electrón por un fotón en electrodinámica cuántica —QED—, la amplitud cuántica viene dada por:

(3)

En estos diagramas, las líneas curvadas son fotones y las líneas rectas, electrones. El estado inicial y final son las líneas externas, iguales en todos los diagramas, puesto que todos corresponden al mismo experimento. La propagación de partículas se representa mediante líneas internas, y la emisión o absorción de un fotón por un electrón mediante vértices. Utilizando estos elementos, pueden escribirse todos los —infinitos— diagramas que contribuyen a este experimento.

La exactitud del cálculo aumenta con el número de vértices, que es igual a la potencia de la constante de acoplo en el desarrollo perturbativo. Así, los dos primeros diagramas del miembro derecho son proporcionales a e² y el siguiente, a e⁴, donde e, la carga del electrón, es la constante de acoplo en QED. Las distintas versiones de la dispersión Compton pueden leerse cronológicamente en cada diagrama del miembro derecho de izquierda a derecha: en el primer diagrama, el electrón absorbe el fotón incidente y más tarde emite el fotón saliente; en el segundo, el electrón emite el fotón final y más tarde absorbe el fotón inicial; etc.

Los diagramas de Feynman son más que una técnica de cálculo, sino que constituyen la «piedra angular de la física de partículas».​ Se consideran tan o más relevantes incluso que la propia teoría cuántica de campos de la que surgen, pues en ellos se reflejan los principios físicos subyacentes más importantes, y son la herramienta básica para analizar las colisiones relativistas.​ Sin embargo, existen numerosos fenómenos en teoría cuántica de campos que no pueden ser analizados como una perturbación, como el confinamiento en QCD, o las soluciones no perturbativas.

Métodos funcionales. Soluciones no perturbativas

Véase también: Integral de caminos (mecánica cuántica)

El formalismo de integral de caminos de la mecánica cuántica es un conjunto de reglas de cuantización alternativo que ofrece los mismos resultados que la cuantización canónica ordinaria. En este formalismo, todas las posibles trayectorias clásicas contribuyen a las amplitudes cuánticas:

(4)$\langle x\,t|x'\,t'\rangle =\sum _{\gamma }e^{iS[\gamma ]/\hbar }$

En esta expresión, 〈x t|x' t'〉 es la probabilidad​ de que la partícula se propague de x a x' entre los instantes t y t'; γ es una posible trayectoria entre dichos puntos del espacio-tiempo; y S[γ] es la acción de la partícula, un funcional de la trayectoria que determina las ecuaciones de movimiento clásicas.​ En teoría cuántica de campos en particular, el formalismo de integral de caminos se usa habitualmente, permitiendo calcular la probabilidad de un proceso como una suma de las contribuciones de cada posible configuración del campo clásico.​ La integral de caminos ofrece una serie de ventajas a la hora de obtener las reglas de Feynman y analizar las simetrías del sistema de forma directa, así como para aprovechar las analogías de la teoría cuántica de campos con la física estadística. Además, resulta indispensable para el análisis de las soluciones no perturbativas de la misma.​

El desarrollo perturbativo utilizado en las teorías de campos en interacción —por ejemplo, a la hora de calcular diagramas de Feynman— se basa en corregir las soluciones más triviales, las ondas planas de un campo libre, considerando los términos de interacción como una perturbación pequeña comparada con estas. Sin embargo, en algunas teorías existen soluciones no perturbativas: soluciones de las ecuaciones de campo en las que las correcciones de la interacción no son pequeñas, y que no pueden ser aproximadas a través del citado desarrollo perturbativo. Todas las configuraciones clásicas del campo contribuyen a las amplitudes cuánticas, como se deduce de (7), luego dichas soluciones se han de tener en consideración.​ Existen muchas clases de soluciones no perturbativas con diferentes efectos físicos:​

• Los solitones u ondas solitarias son soluciones de ecuaciones de ondas no lineales que se propagan sin alterar su forma. Una teoría de campos con soluciones solitónicas presenta dos tipos de partículas al ser cuantizada: aquellas asociadas con sus modos normales —las mencionadas soluciones triviales corregidas—; y aquellas asociadas a las soluciones solitónicas, cuyas masas en general dependen de manera no analítica de las masas y constantes de acoplo del campo, como por ejemplo M_S = m / g.​ Esto implica en particular que en el régimen de interacción débil —g pequeño— la masa del solitón es grande comparada con la de las partículas ordinarias —ya que 1 / g es grande—.
• Los instantones son soluciones de la versión euclídea de unas ecuaciones de campo dadas —en las que la variable tiempo se sustituye por una coordenada espacial adicional— localizadas alrededor de un punto. Vistas desde el punto de vista de la teoría original dichas soluciones están concentradas alrededor de un evento —un punto del espacio-tiempo—, de ahí su nombre. Los instantones son responsables de multitud de efectos como ciertas anomalías axiales, confinamiento en algunos modelos sencillos o la (ausente) violación de CP en la cromodinámica cuántica.

Polarización del vacío. La presencia de una carga eléctrica desnuda (divergente) polariza el vacío, con lo que los pares virtuales partícula-antipartícula la apantallan, resultando en una carga física finita.​

Modelo de Ising. La renormalización permite examinar sistemas físicos a distintas escalas de energía. En la imagen, los distintos dipolos en el modelo de Ising pueden agruparse de manera efectiva en «bloques», que interaccionan entre sí en una versión renormalizada del sistema inicial.

Otros ejemplos incluyen monopolos magnéticos, vortex lines, domain walls, skyrmiones, etc.

Renormalización

En las aplicaciones tempranas de la teoría cuántica de campos se constató que al utilizarla para calcular ciertas cantidades arroja un valor infinito. Este resultado aparece a menudo al aumentar la precisión de un cálculo cualquiera, más allá del orden más bajo de aproximación en la serie perturbativa.​ Por ejemplo, el tercer diagrama de la dispersión Compton, mostrado en (3), es divergente: su valor es infinito.​

La renormalización es un método que se desarrolló para extraer de estas divergencias las cantidades finitas susceptibles de medirse experimentalmente. La solución del problema pasa por reconocer que en los cálculos perturbativos se extrapola la teoría a distancias arbitrariamente cortas —o equivalentemente, a energías arbitrariamente altas—,​ de ahí el nombre de divergencias ultravioletas. Por ejemplo, el tercer diagrama de la dispersión Compton en (3) contiene una parte denominada la auto-energía del electrón Σ, dada por:

en la que un fotón virtual es emitido y reabsorbido por un electrón. Sumar sobre todas las versiones virtuales de la dispersión Compton implica sumar la contribución de cada diagrama pero además, en este en particular, sumar sobre todos los posibles valores de energía y momento del fotón virtual, mediante la expresión:

(5)$\Sigma =e_{0}^{2}\int d^{4}k{\frac {k_{\mu }\gamma ^{\mu }+m_{0}}{(k^{2}+m_{0}^{2})(k-p)^{2}}}\sim \int _{0}^{\infty }d|k|\,{\frac {|k|^{4}}{|k|^{4}}}$,

que es divergente.​ Al identificar dicha extrapolación como la fuente del resultado infinito, se puede examinar qué parte del mismo corresponde verdaderamente a la cantidad física, cuyo valor es necesariamente finito. En particular los infinitos desaparecen al considerar que deben absorberse en los parámetros de la teoría.

En el ejemplo de la auto-energía Σ, el proceso es el siguiente. Primero, se pasa a utilizar una teoría regularizada, una versión inexacta de la teoría original pero libre de divergencias, cuyos resultados solo pueden ser una aproximación. En esta teoría regularizada se hace patente que las constantes m₀ y e₀ de la ecuación (5), la masa y la carga del campo, no se corresponden con la masa y la carga del electrón. Es decir, la presencia de la interacción establece una diferencia entre los parámetros físicos de las partículas y los parámetros del campo —denominados «desnudos»— utilizados en los cálculos. Establecida la relación entre ellos, puede reescribirse la fórmula (5) en términos de los verdaderos parámetros físicos, y se comprueba entonces que es finita.​

Este proceso posee además cierta ambigüedad. La sustracción de dos cantidades divergentes para obtener una diferencia finita no determina por completo esta última, sino que depende de la definición de los parámetros físicos que se adopte. Para ello existe más de un criterio posible, como por ejemplo expresar los resultados en función no de la carga eléctrica e, sino de la carga efectiva a una energía dada, e(E). Estos parámetros alternativos son «constantes móviles»,​ es decir que varían con la energía y ofrecen ciertas ventajas a la hora de realizar cálculos en distintas escalas de energía.

Esta técnica, llamada grupo de renormalización,​ no sólo es de utilidad práctica, sino que aporta una visión nueva del papel de las divergencias y de la teoría de campos en general. Así, la renormalización puede ser entendida como el proceso de aislar los grados de libertad relevantes para un proceso físico, ignorando contribuciones demasiado remotas en energía.​

El proceso de absober los infinitos en los parámetros de una teoría no puede llevarse a cabo siempre. Las teorías para las que esto sí es posible son llamadas renormalizables, como por ejemplo las interacciones del modelo estándar. La interacción gravitatoria, sin embargo, es un ejemplo de teoría no renormalizable: para reabsorber todos sus infinitos hace falta considerar un número infinito de parámetros. Las teorías no renormalizables tienen menos poder de predicción, pero aún así se utilizan a menudo como teorías efectivas.​

Teorías gauge

Cromodinámica cuántica como teoría gauge. Cada tipo de quark (u o d en la imagen) posee tres «copias» de distinto «color». Los gluones actúan como bosón intermediario entre partículas con color (como un fotón entre partículas con carga eléctrica).

Una teoría gauge es una teoría cuántica de campos con una cierta estructura que mimetiza la de la electrodinámica cuántica (o QED). QED es la versión cuántica de la electrodinámica clásica, que describe la interacción entre cargas eléctricas y radiación. En QED, las cargas eléctricas interaccionan mediante el intercambio de fotones, los cuantos del campo electromagnético.

Las ecuaciones clásicas de la electrodinámica poseen una propiedad denominada invariancia gauge,​ de forma que de cada solución para el potencial electromagnético A_μ se puede obtener otra, A_μ + ∂_μρ, sin más que añadir el gradiente de una función arbitraria del espacio y el tiempo, ρ(t,x). Sin embargo todos estos potenciales distintos corresponden a un único campo electromagnético. A esta propiedad se la denomina simetría local, ya que la transformación de las soluciones varía según el punto del espacio-tiempo, es decir, según el valor de ρ, y es indispensable a la hora de aplicar las reglas de cuantización de forma consistente y obtener QED.​

Una teoría gauge no abeliana es una versión más general de QED. En ellas, las partículas poseen múltiples cargas que, como la carga eléctrica, se mantienen constantes. Estas partículas cargadas interaccionan entre sí mediante el intercambio de varios bosones gauge intermediarios —parecidos al fotón—. Sin embargo, en el caso no abeliano, los bosones intermediarios también poseen carga e interaccionan entre sí, a diferencia del caso de QED, donde el fotón no está cargado eléctricamente y no interacciona consigo mismo. Los bosones gauge son no masivos en general, aunque el fenómeno de ruptura espontánea de simetría puede dotarlos de masa. Las teorías gauge no abelianas se obtienen cuantizando las ecuaciones de un campo de Yang-Mills A_μ^a.​ Estas son similares a las del campo electromagnético, aunque más complejas —son no lineales—, y también tienen una propiedad de invariancia gauge parecida a la de las ecuaciones de Maxwell. Un ejemplo de teoría gauge no abeliana es la cromodinámica cuántica (véase imagen).

Las teorías gauge son una parte esencial de la formulación del modelo estándar de las partículas fundamentales, que es precisamente una teoría gauge basada en tres grupos de simetría. A nivel cuántico poseen rasgos únicos que las hacen interesantes, como el confinamiento y la libertad asintótica en algunos casos, o la ausencia de bosones de Goldstone en una ruptura espontánea de simetría. La relatividad general puede ser entendida también como una teoría gauge, asociada a la conservación de la energía y el momento.

Simetrías. Ruptura espontánea y anomalías

Simetrías aproximadas. Suponiendo que las masas de los tres quarks u, d y s son iguales, existe una simetría de sabor que clasifica (entre otros) los bariones ligeros —el protón, el neutrón y otros, como el Σ— de acuerdo al diagrama superior. Dichos quarks tienen masas diferentes, luego la simetría no es perfecta: estos bariones respetan dicha clasificación pero presentan también diferencias de masa.

Anomalías. La simetría aproximada mencionada arriba impide la desintegración de un pion en fotones. Como es sólo aproximada, se esperaba que la desintegración de hecho tuviera lugar, aunque lentamente; y sin embargo en los años 60 se constató que ocurría 1000 veces más rápido de lo previsto. Esto condujo al descubrimiento de las anomalías, pues la simetría —aproximada— que prohíbe este proceso en realidad no existe a nivel cuántico.​

Las simetrías tienen un papel fundamental en la física. Si las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes bajo un cierto grupo de transformaciones, una consecuencia general es la existencia de cantidades conservadas. En teoría cuántica de campos las simetrías son también una herramienta crucial. En una teoría relativista, la invariancia Lorentz determina las posibles especies de partículas en función de su masa y espín. Las simetrías bajo transformaciones internas tales como un cambio de fase o una transformación unitaria de los campos, implican la conservación de cantidades como la carga eléctrica, el isoespín, la carga de color, etc. Incluso cuando una simetría no es exacta —las ecuaciones sí cambian bajo sus transformaciones—, puede ser útil asumirla como cierta dentro de cierto rango de aproximación adecuado, si con eso se consigue un entendimiento cualitativo de algún fenómeno.​ Es el caso por ejemplo de la conservación del sabor en las colisiones a altas energías. Además de simetrías exactas y aproximadas, pueden darse otras dos posibilidades de interés: ruptura espontánea de simetría y anomalías.

El fenómeno de la ruptura espontánea de simetría​ es común a todos los sistemas cuánticos con infinitos grados de libertad, como la teoría cuántica de campos.​ Una simetría espontáneamente rota es aquella que, siendo exacta, no muestra efectos evidentes, puesto que los estados de mínima energía del sistema no son invariantes bajo dicha simetría. Su presencia se manifiesta indirectamente por la aparición de unas partículas conocidas como bosones de Goldstone; o por la presencia de bosones gauge masivos, si la simetría involucrada es una simetría local, es decir, asociada con una teoría gauge.

• Un ejemplo común de ruptura espontánea de simetría se da en un material ferromagnético: por debajo de cierta temperatura, el vector de magnetización del material apunta en una determinada dirección en el espacio. Aunque las leyes físicas involucradas son invariantes bajo rotaciones, en el estado de mínima energía la magnetización de cada dominio magnético apunta en una misma dirección. En este sistema se producen excitaciones colectivas conocidas como magnones u ondas de espín, que se corresponden con los bosones de Goldstone de la simetría espontáneamente rota.​
• La ruptura espontánea de simetría tiene un papel crucial en el modelo estándar de la física de partículas, a través del mecanismo de Higgs, un elemento de dicho modelo. La fuerza electrodébil parece explicarse con facilidad mediante una teoría gauge, cuya simetría correspondiente prohíbe que las partículas con carga débil posean masa, cuando de hecho la tienen. Estas masas no nulas son análogas a la dirección de la magnetización de un material ferromagnético en cuanto a que corresponden al valor del postulado campo de Higgs a baja energía. En particular, los bosones W^± y Z⁰, intermediarios de la interacción débil, son también masivos.

Las anomalías son violaciones de una simetría en un sistema cuántico obtenido a partir de un sistema clásico que sí poseía esta simetría. Son muy frecuentes en las teorías cuánticas de campos pues, como parte del proceso de renormalización, estas han de ser regularizadas para lidiar con sus resultados infinitos. Este paso intermedio en general viola las simetrías de la teoría, y no siempre es posible restablecerlas en la teoría renormalizada.​

• La llamada anomalía conforme ocurre de forma habitual,​ en teorías que clásicamente son invariantes bajo dilataciones; es decir, cuyo comportamiento es el mismo independientemente de las distancias físicas involucradas, o de las energías.​ En general esta simetría no permanece en la teoría cuántica, donde la intensidad de las fuerzas varía con la energía.
• La anomalía denominada axial está relacionada con los números cuánticos conservados en el sistema. Por ejemplo, en la versión clásica del modelo estándar, tanto el número leptónico como el número bariónico son cargas conservadas.​ Sin embargo, se demuestra que existen fenómenos no perturbativos que permiten una variación de ambos números.​

Las anomalías pueden representar una inconsistencia en la teoría si afectan a una simetría gauge, dado que estas son fundamentales para eliminar grados de libertad no físicos del sistema.​

Simetrías discretas. CPT

Algunas simetrías discretas tienen un papel especial en teoría cuántica de campos, en particular en el contexto de la física de partículas, debido al descubrimiento de que algunas interacciones fundamentales no respetan la paridad ni la conjugación de carga. Esto significa que se comportan de manera diferente si se aplica una transformación especular, que resulta equivalente a visualizarlas en un espejo o cambiar cada partícula por su antipartícula correspondiente. Estas simetrías está relacionadas con la simetría de inversión temporal, determinante del comportamiento de las interacciones al cambiar la dirección del tiempo, a través del denominado teorema CPT, que asegura que la combinación de las tres operaciones deja inalterado cualquier sistema relativista cuántico.​

Aplicaciones

Física de altas energías

Evento del quark top en CDF. El quark top es la última partícula del modelo estándar descubierta hasta la fecha (en Tevatrón en 1995).

Superconductor. Levitación magnética de un imán sobre un superconductor.

En el ámbito de la física de altas energías se estudian los componentes elementales de la materia y sus interacciones. Para ello es necesario utilizar una gran cantidad de energía en relación al número de partículas involucradas y así descomponer la materia. En este régimen, es inevitable el uso de una teoría cuántica de campos para dar cuenta de la cinemática relativista de las partículas.

En la actualidad, la teoría denominada modelo estándar recoge los fenómenos conocidos a escala subatómica. Esta teoría clasifica todos los constituyentes fundamentales de la materia en tres familias de quarks, componentes de los hadrones como el protón y el neutrón; y de leptones: el electrón y partículas similares, junto con los neutrinos. Todas estas partículas son fermiones de espín 1/2 y, a excepción de los neutrinos, están cargadas eléctricamente. Además todas tienen masa, aunque el descubrimiento de las masas (extremadamente pequeñas) de los neutrinos es reciente aún, y no se incluye en el modelo estándar.​

El modelo estándar es una teoría gauge: las interacciones entre estas partículas ocurren mediante el intercambio de bosones gauge de espín 1. Todas salvo los neutrinos interaccionan electromagnéticamente a través del fotón. Los quarks poseen carga de color, y pueden intercambiarse gluones. Además, todos estos fermiones poseen una carga denominada isoespín débil, que hace que interaccionen entre sí a través de los bosones débiles Z⁰ y W^± los cuales, a diferencia de los fotones y gluones, tienen masa. Estas tres interacciones se conocen como la interacción electromagnética, la interacción fuerte y la interacción débil.

El modelo estándar incluye una partícula de espín 0 y sin carga denomidada bosón de Higgs cuya existencia no está demostrada aún, y que interaccionaría con todas las que tienen masa, incluida ella misma.​ Su presencia explicaría precisamente las masas no nulas de las partículas, que en apariencia contradicen la conservación del isoespín débil.

El modelo estándar ha alcanzado un alto grado de precisión en sus predicciones, aunque existen múltiples fenómenos que no explica, como el origen de la masa de los neutrinos, la naturaleza de la materia oscura, la interacción gravitatoria, etc.​ Tampoco existe una explicación teórica satisfactoria del comportamiento de los quarks dentro de los hadrones que forman a baja energía, más allá de cálculos aproximados utilizando una versión discretizada de la teoría de campos.​

Física de la materia condensada

El ejemplo básico del formalismo de segunda cuantización pertenece a la disciplina de la física del estado sólido: la descripción de las oscilaciones de los átomos en un sólido como cuasipartículas llamadas fonones. En física de la materia condensada existen muchos sistemas que se analizan términos similares, aprovechando la comodidad de las técnicas de many body («muchos cuerpos»), aún cuando la creación y destrucción de partículas no necesariamente se dé en realidad. La teoría de campos permite describir de manera efectiva las excitaciones colectivas de un sistema de muchas partículas en una fase dada.​

Algunos ejemplos de problemas en los que se aplica son la teoría BCS de la superconductividad, el efecto Hall cuántico o el ferromagnetismo y antiferromagnetismo. Muchos de los aspectos característicos de la teoría cuántica de campos están involucrados en estos fenómenos: ruptura espontánea de simetría, invariancia gauge, modelos sigma no-lineales, etc.​

Parte de estas propiedades de la teoría cuántica de campos se descubrieron o plantearon inicialmente en el contexto de la física de la materia condensada. El concepto de ruptura espontánea de simetría fue desarrollado para explicar la superconductividad antes de ser adaptado al mecanismo de Higgs. La técnica del grupo de renormalización, donde se examina el cambio en los parámetros de una teoría dependiendo de la escala a la que se la examine, aparece de manera natural en materia condensada al analizar, por ejemplo, el modelo de Ising.​

Véase también

• Segunda cuantización
• Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo
• Teoría de campo de gauge
• Topología cuántica

Bibliografía

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• Ynduráin, Francisco José (1989). Mecánica cuántica relativista (con una introducción a la teoría cuántica de campos). Alianza Editorial. ISBN 978-84-206-8129-0. 

Bibliografía adicional

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• Berestetskii, V.B.; Lifshitz, E.M.; Pitaevskii, L.P. (1971). Teoría cuántica relativista, 1. Curso de física teórica. Volumen 4. Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4084-2. 
• Berestetskii, V.B.; Lifshitz, E.M.; Pitaevskii, L.P. (1981). Teoría cuántica relativista, 2. Curso de física teórica. Volumen 5. Editorial Reverté. ISBN 978-84-291-4085-9. 
• Kittel, Charles (1997). Introducción a la física del estado sólido (3ª edición). Reverté. ISBN 84-291-4317-3. 

Enlaces externos

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Teoría cuántica de campos.
• Fields por Warren Siegel (gratis; 800 páginas)