Postulados de la mecánica cuántica

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La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann. Dicha formulación canónica se basa en un conjunto de media docena de postulados (dependiendo de la formulaciones). Este artículo presenta una enumeración más o menos canónica de dichos postulados fundamentales en que se resume dicha formulación.

Introducción[editar]

Los postulados de la mecánica cuántica de forma rigurosa requieren la introducción de ciertos objetos matemáticos complejos como los espacios de Hilbert de dimensión no finita (para el conjunto de estados), operadores lineales definidos sobre dicho espacio que permiten formalizar el concepto de medida de una magnitud física, conceptos algebraicos como el de vector propio, valor propio y otros conceptos de teoría espectral además del varios conceptos de probabilidad avanzada (conjuntos borelianos, álgebras de Borel, etc.)

Nomenclatura usada[editar]

 |\psi \rangle \rightarrow Estado cuántico
 A \rightarrow Observable
 \lambda_i \rightarrow Autovalor
 a_i \rightarrow Autovector
 \mathbb{I} \rightarrow Matriz identidad
\hbar\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{h}{2\pi} = \,\,\, 1.054\ 571\ 68(18)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} Constante reducida de Planck (h-barra)
 [A,B] = AB - BA \rightarrow Conmutador

Postulado I[editar]

Todo estado cuántico está representado por un vector normalizado, llamado en algunos casos "vector de estado" perteneciente a un espacio de Hilbert complejo y separable \scriptstyle \mathcal{H} (espacios compactos con estructura vectorial y de funciones acotadas). Fijada una base del espacio de Hilbert unitaria \{|u_n \rangle\}_{n=1}^{N} tal que,[1]

\left\{|u_n\rangle \in \mathcal{H} \quad;\quad\ \langle u_n,u_m \rangle = \delta_{nm} \quad;\quad \forall\psi \in \mathcal{H} \rightarrow\psi = \sum_{i=1}^{N}{c_i u_i}\right\}

se puede representar el estado de las siguientes formas vectoriales:

  1. Forma ket:
 \text{rep}_{\vec{u}}\left(| \psi \rangle\right) = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \langle u_1|\psi\rangle \\ \langle u_2|\psi\rangle \\ \vdots \end{pmatrix}
  1. Forma bra:

\text{rep}_{\vec{u}}\left( \langle \psi|\right) = \left( c^*_1\ c^*_2\ \cdots\right)=\left( \langle\psi|u_1 \rangle \ \langle\psi|u_2 \rangle \ \cdots\right),

donde la "*" significa complejo conjugado. El espacio de kets y bras forman espacios vectoriales duales uno de otro. Puesto que todo espacio de Hilbert es reflexivo ambos espacios son isomorfos y por tanto constituyen descripciones esencialmente semejantes.

El estado físico de un sistema cuántico sólo adquiere forma matemática concreta cuando se escoge una base en la cual representarlo. Más aún, el estado cuántico no debe ser identificado con una forma matemática concreta, sino con una clase de equivalencia de formas matemáticas que representan el mismo estado físico. Por ejemplo, todos los kets de la forma e^{i\theta}| \psi \rangle para todo θ, aún siendo vectores diferentes del espacio de Hilbert representan el mismo estado cuántico.

El ket normalizado debe cumplir:  \|\psi\|^2=\langle\psi|\psi\rangle=1 . La elección del ket normalizado que representa al estado no es única ya que |\psi \rangle y e^{i\theta}|\psi \rangle representan el mismo estado ya que la medida de cualquier magnitud en ellos es idéntica. Las funciones de onda son una de las representaciones posibles de los estados sobre el espacio L2(ℝ3), cuya definición rigurosa requiere el uso de espacios de Hilbert equipados.

Postulado II[editar]

Los observables de un sistema están representados por operadores lineales hermíticos (autoadjuntos). El conjunto de autovalores (valores propios) del observable \mathcal{O} recibe el nombre de espectro y sus autovectores (vectores propios), exactos o aproximados, definen una base en el espacio de Hilbert.

En la misma base unitaria \{|u_n \rangle\}_{n=1}^{N}, los representantes de un observable \mathcal{O} se definen como:

\text{rep}_{\vec{u}}\mathcal{O}=\left[\begin{array}{ccc}
o_{11} & \dots & o_{1n} \\
\vdots & o_{ij} & \vdots \\
o_{n1} & \dots & o_{nn} \\
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}
<u_1|\mathcal{O}|u_1> & \dots & <u_1|\mathcal{O}|u_n> \\
\vdots & <u_i|\mathcal{O}|u_j> & \vdots \\
<u_n|\mathcal{O}|u_1> & \dots & <u_n|\mathcal{O}|u_n> \\
\end{array}\right]

En dimensión finita, los autovalores \lambda_i se encuentran diagonalizando el representante del operador: igualando a cero el siguiente determinante:  |\mathcal{O} - \lambda \mathbb{I}| =0 y los autovectores resolviendo el siguiente sistema de n ecuaciones:  \mathcal{O} o_i = \lambda_i o_i \qquad \forall i=1,2, \ldots ,n

En la práctica, el espacio de Hilbert de la mayoría de sistemas reales es de dimensión infinita y el cálculo de autovalores y autovectores es un problema matemático un poco más complicado que el que debe hacerse en dimensión finita.

Postulado III[editar]

Cuando un sistema está en el estado |\psi\rangle , la medida de un observable A (con espectro puntual) dará como resultado el valor propio a, con una probabilidad P_{A| \psi \rangle} = |\langle a | \psi \rangle|^2 , donde  |a\rangle es el vector propio asociado al autovalor a (en notación del espacio de Hilbert esto se expresa como A |a\rangle = a |a\rangle).

Como consecuencia de este postulado el valor esperado será:  \langle A \rangle_{|\psi \rangle} = \sum_{i} \lambda_i |\langle a_i | \psi \rangle|^2 = \langle \psi | A| \psi \rangle

Se llama dispersión o incertidumbre a la raíz cuadrada de la varianza. Ésta se calcula como:

 \Delta_{|\psi\rangle}A = \sqrt{\langle \psi | A^2| \psi \rangle - \langle \psi | A| \psi \rangle^2}

Si el observable tiene un espectro no necesariamente puntual o hacemos una medida de primera especie (filtrante sobre él) entonces la probabilidad de que la medida esté dentro de un conjunto boreliano \Delta \subset \sigma(A) \subset(\R) viene dada por:

P_{A,\psi}(\Delta) = | \langle \psi| E_A(\Delta)|\psi\rangle |^2

Donde E_A(\Delta) es el proyector ortogonal sobre un subespacio de vectores asociados a valores propios contenidos en el conjunto boreliano \Delta.El caso particular tratado anteriormente correpondía a un conjunto boreliano tal que:

\Delta\cap\sigma(A) = \{a\}

Principio de incertidumbre[editar]

El producto de las dispersiones de dos observables sobre el mismo estado está acotado.

 \Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \langle \psi | [A,B]| \psi \rangle

Para el caso de los observables típicos de posición (X) y momento lineal (Px) tenemos:

 \Delta X \Delta P_x \ge \frac{\hbar}{2}

Esto es porque las variables X y Px son canónicas conjugadas, es decir que el conmutador  [X,P_x]=i \hbar.

Postulado IV[editar]

Éste es el postulado más conflictivo de la mecánica cuántica ya que supone el colapso instantáneo de nuestro conocimiento sobre el sistema al hacer una medida filtrante[cita requerida].

Para cualquier estado puro  |\psi\rangle sobre el cual se hace una medida de primera especie de A y se obtiene el valor a_i\, (con las probabilidades dadas por el Postulado III entonces el estado resultante se obtiene "filtrando" el estado inicial al subespacio M_{a_i}\, propio de A asociado al valor de la medida a_i\, (matemática esta "filtración" se obtiene mediante una proyección ortogonal a dicho subespacio). Si dicho subespacio propio tiene dimensión el estado "colapsa" al estado  |a_i\rangle

 |\psi\rangle \to |a_i\rangle

Si no se ha destruido durante el proceso. Si el espacio es de dimensión \alpha > 1 se obtiene un resultado del tipo:

 |\psi\rangle \to \sum_{j=1}^\alpha |a_i,\lambda_j \rangle

Más en general, si el sistema se encuentra en un estado mezcla definido por una matriz densidad \rho\, y el resultado de una medida de primera especie es el conjunto de valores de A contenido en el subconjunto \Delta \subset \sigma(A) del espectro del operador, entonces el estado final será un estado mezcla "filtrado" dado por la siguiente proyección ortogonal:[2]

\rho \to \rho_{A,\Delta} = \frac{1}{\mbox{tr}(\rho E_A(\Delta)}
\sum_{a\in \Delta} E_{M_a}\rho E_{M_a}

Postulado V[editar]

La evolución temporal de un sistema se rige por la ecuación de Schrödinger:

i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle

Donde H es el operador de Hamilton o hamiltoniano del sistema, que corresponde a la energía del sistema.

Postulado VI[editar]

Los operadores de posición y momento lineal satisfacen las siguientes reglas de conmutación:

 [X_i,X_j]=0 \qquad [P_i,P_j]=0 \qquad [X_i,P_j]=i\hbar \delta_{ij}\mathbb{I}

La última propiedad implica que el espacio de Hilbert del sistema debe ser de dimensión infinita, ya que la traza del Conmutador de dos operadores definidos en un espacio de dimensión finita es siempre nula, y para i = j la regla de conmutación claramente no es nula.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Franck Laloë (1977). Quantum Mechanics. vol.1 (3ª edición). París, Francia: Hermann. p. 898. ISBN 0-471-16432-1. 
  2. A. Galindo y P. Pascual, 1989, p. 95-97

Bibliografía[editar]

  • Galindo, A. y Pascual P.: Mecánica cuántica, Ed. Eudema, Barcelona, 1989, ISBN 84-7754-042-X.