División por cero

Representación gráfica de la función y = 1/x. Cuando x tiende a 0+, y se aproxima a infinito.

En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y álgebra, constituye una operación no definida que puede originar paradojas matemáticas.

En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo.​ En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.

El problema surgió en los años 650, cuando en India se comenzó a popularizar el uso del cero y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara I, quien escribió que ${n \over 0}=\infty$.​

Paradoja clásica usando división por cero

Sea a = b, multiplicando ambos lados de la igualdad por b, se obtiene:

ab = b²

Luego, restando de la igualdad a²:

ab - a² = b² - a²

Factorizando:

a (b-a) = (a+b) (b-a)

Y simplificando por el término (b-a):

a = a + b

Puesto que a = b, entonces la expresión es equivalente a:

a = a + a = 2 a

Entonces,

1 = 2, lo cual es una contradicción.

El error en este procedimiento está al simplificar el dividiendo (b-a): al ser b=a, la expresión b-a es igual a cero, y puesto que estamos intentando dividir, la operación no está definida.​

Indefinición de la división por cero y su diferencia con una indeterminación

En fracciones

• Si se quiere averiguar cuál es el resultado de 1 dividido cero, se plantea la siguiente ecuación:

${\frac {1}{0}}=x$

se intercambian los términos:

${0}{x}={1}$

y se concluye que no hay ningún número que dé como resultado 1 al multiplicarse por cero.

• Si se quiere averiguar el resultado de 0/0, se plantea:

${\frac {0}{0}}=x$

se intercambian los términos:

$0x=0$

y se concluye que cualquier número multiplicado por cero, da por resultado cero.

Es por eso que ${\frac {0}{0}}$ es una indeterminación, y ${\frac {x}{0}}$ (con x ≠ 0) es una indefinición.​

En análisis matemático

Desde el punto de vista del análisis matemático, la indefinición de una división por cero puede representarse mediante el límite de la división. En efecto, supongamos que tenemos la siguiente ecuación:

$s={b \over 0}$

donde s es un número real. Entonces, para calcular el valor de s, se puede utilizar una aproximación de límite, por la derecha o por la izquierda, de modo que:

$s\simeq \lim _{q\to 0+}{b \over q}$

Mientras el valor de q se acerca a cero, el resultado de b/q se hace más grande; esto llevado al infinito, ocasionará que esta división sea infinitamente grande. Se puede entonces decir que, si b es distinto de cero, entonces b/0 es infinito:

$s={b \over 0}\simeq \infty$

Sin embargo, aunque aceptable en la práctica, esta solución puede generar varias paradojas si no se trata con cuidado, como por ejemplo, lo que se conoce como diferentes infinitos. Algunos intentos en el análisis matemático por definir más formalmente la división por cero, están dadas por las extensiones a la recta de los reales y la Esfera de Riemann.

Informática

Una división por cero es, en informática, un clásico error lógico.

Puesto que muchos algoritmos informáticos clásicos de división usan el método de restas sucesivas, al ser el divisor cero, la resta como tal se ejecuta por siempre, ya que el dividendo nunca cambia. La aplicación en cuestión entra entonces en un bucle infinito.

Para prevenir esto, actualmente los procesadores matemáticos son capaces de detectar divisiones por cero en tiempo de ejecución, y llegado el caso, entregan informes de error distinguibles al sistema, para que éste termine el proceso que se está ejecutando.

Por su parte, los compiladores más modernos incorporan mensajes de error cuando una división por cero ocurre explícitamente, mientras que algunos incluso además intentan detectar divisiones por cero no explícitas. Aquellos lenguajes que incorporan manejo de excepciones pueden capturar este evento para que sea tratado apropiadamente, ejecutando un código especialmente dedicado a este caso.

En el caso particular de divisiones por cero en aritmética de números en punto flotante, el estándar IEEE indica que si el dividendo se hace cero en algún momento, tal operación deberá dar como resultado el valor Inf (infinito), o particularmente NaN (Not a Number, "No es un Número").