Descomposición en valores singulares

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En álgebra lineal, la descomposición en valores singulares de una matriz real o compleja es una factorización de la misma con muchas aplicaciones en estadística y otras disciplinas.

Definiciones previas[editar]

Dada una matriz real , los autovalores de la matriz cuadrada, simétrica y semidefinida positiva son siempre reales y mayores o iguales a cero. Teniendo en cuenta el producto interno canónico vemos que:


. O sea que es simétrica


, es decir es semidefinida positiva, es decir, todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.


Si es el i-ésimo autovalor asociado al i-ésimo autovector, entonces . Esto es una propiedad de las matrices simétricas. Ver demostración.


Definición[editar]

Sean los autovalores de la matriz ordenados de mayor a menor. Entonces es el i-ésimo Valor Singular de la matriz .

Teorema[editar]

Sea y los autovalores de . Es decir los primeros autovalores no nulos, ordenados de manera decreciente y los autovalores nulos.

Sea una base ortonormal de formada por autovectores de . Entonces:


  1. es un conjunto ortogonal y
  2. es una base ortonormal del subespacio fundamental .
  3. es una base ortonormal del subespacio fundamental .
  4. es decir, el rango de la matriz coincide con la cantidad de Valores Singulares no nulos.
Demostración[editar]
  1. . Teniendo en cuenta este resultado
  2. Como el conjunto de los vectores es ortonormal (por lo tanto linealmente independiente), se ve que hacer el producto es ni más ni menos que una combinación lineal de las columnas de la matriz; por lo que el espacio generado por estos productos y las columnas de la matriz es el mismo. Por lo tanto, teniendo en cuenta lo demostrado en el punto anterior, es una base ortonormal del
  3. Es claro que si los vectores están asociados a autovalores nulos, teniendo en cuenta lo visto en el punto 1 y también sabiendo que (demostración en el último punto de esta lista de propiedades) se ve que es una base ortonormal del
  4. Mirando la dimensión del subespacio hallado en el punto 2 de esta demostración, es claro que

Descomposición en Valores Singulares de una matriz[editar]

Una DVS de es una factorización del tipo con , ortogonales y una matriz formada con los Valores Singulares de en su diagonal principal ordenados de mayor a menor.

Demostración[editar]

Sean los autovalores de ordenados de esta manera. Sea una base ortonormal de formada por autovectores de , cada uno asociados (en orden) a un autovalor.


Recordemos el conjunto ortogonal . Si llamamos vemos que:

  • es un conjunto ortonormal. Entonces, si podemos completar con hasta formar una base ortonormal de



  • Reescribiendo este último sistema de ecuaciones de manera matricial con las matrices ortogonal y



Claramente y, finalmente, como es una matriz ortogonal . Esta es la ecuación de una DVS de .

Viendo esta descomposición, es claro que la matriz puede escribirse como combinación lineal de matrices de rango 1 tal que:



Teorema[editar]

Sea , entonces existe una DVS de

Descomposición en Valores Singulares Reducida (DVS Reducida)[editar]

Este tipo de descomposición resulta de quedarse sólo con los autovectores unitarios asociados a los Valores Singulares no nulos. Las matrices entonces son:




Observación: es una matriz diagonal de dimensión


Propiedades[editar]

Las matrices a continuación denotadas con la letra , son de proyección sobre el subespacio indicado. Las matrices denotadas con la letra son las identidades del orden denotado.







  • es una base ortonormal de


  • es una base ortonormal de


  • es una base ortonormal de


  • es una base ortonormal de



  • Una diagonalización ortogonal de


  • Las matrices simétricas y tienen los mismos autovalores no nulos y, por lo tanto, los Valores Singulares no nulos de la matriz pueden calcularse usando cualquiera de estas 2. Además, todos los vectores del conjunto son autovectores de y también, como ya se mencionó, . Esto es fácil de ver, teniendo en cuenta que:



Este resultado es útil para facilitar el cálculo de Valores Singulares. Por ejemplo, dada , entonces tiene un polinomio característico de grado 8 y tiene un polinomio característico de grado 2. Como los autovalores no nulos de ambas matrices coinciden, el calculo de Valores Singulares de se hace más sencillo.

Ejemplo 1[editar]

Si , entonces cuyos autovalores son asociados a los autovectores . Ya que la matriz es simétrica, estos vectores son ortogonales (ver diagonalización de matrices Hermíticas).

Entonces, los Valores Singulares de son . Observamos que, efectivamente, la cantidad de Valores Singulares no nulos coincide con el rango de la matriz.


Ahora buscamos los vectores con , que deberán cumplir



Esto es y .


Entonces completamos una base ortonormal de con .


Nuestras matrices ortogonales son:



Y la matriz compuesta por los Valores Singulares ordenados:



Por lo tanto la DVS de es:


.


Y la DVS Reducida es



Observación: No siempre ocurre que como en este caso.

Ejemplo 2[editar]

Sea . Entonces, para hacer más sencillo el proceso, calculamos que tiene un polinomio característico de grado 2. Los autovalores son asociados a los autovectores de norma unitaria . Nuestro único valor singular no nulo es


Observaciones:

  • Es claro que coincide con la cantidad de Valores Singulares no nulos de la matriz y además
  • Sabemos que tiene un polinomio característico de grado 3. Entonces, sus raíces son . Veámoslo:



Ahora, sabemos que , es decir . Entonces, resulta del único Valor singular no nulo: .


Ahora, completamos una base ortonormal de con . En este ejemplo, nuestras matrices ortogonales son:




Y la DVS resulta entonces:



Nota: la DVS reducida se muestra en la segunda igualdad de la ecuación anterior.

Véase también[editar]