Base ortonormal

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En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el generado de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.

Ejemplos[editar]

  • El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base canónica) forma una base ortonormal de R3.
Demostración
Mediante un cálculo directo se verifica que

\left\langle e_1, e_2 \right\rangle=\left\langle e_1, e_3 \right\rangle=\left\langle e_2, e_3 \right\rangle=0

y que

\left\|e_1\right\|=\left\|e_2\right\|=\left\|e_3\right\|=1

siendo \scriptstyle \|x\|=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle} la norma inducida por el producto interno. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos

 (x,y,z) = xe_1 + ye_2 + ze_3, \,

entonces, {e1,e2,e3} reconstruye R3 y por lo tanto tiene que ser una base

También puede demostrarse que la base estándar rotada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen forma también una base ortonormal de R3.

  • El conjunto {fn : nZ} con fn(x) = exp(2πinx) forma una base ortogonal del espacio complejo L2([0,1]). Este es un resultado fundamental para el estudio de series de Fourier.
  • El conjunto {eb : bB} con eb(c) = 1 si b=c y 0 en caso contrario, forma una base ortonormal de l2(B).
  • Eigenfunciones de un Eigenproblema de Sturm-Liouville.

Consecuencias[editar]

Si un espacio prehilbertiano \left(V,\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle\right) posee una base ortonormal E=\left\{e_1,e_2,\dots,e_n\right\} finita, cada vector x en V puede expresarse de la siguiente manera:

\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n \left\langle x, e_i \right\rangle e_i

Demostración
Sean xi las coordenadas del vector x en a base E, por definición

\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i e_i.

Se escoge un vector ej del conjunto E para calcular el producto interno entre este vector y x:

\left\langle\mathbf{x},e_j\right\rangle = \left\langle\sum_{i=1}^n x_i e_i,e_j\right\rangle.

La definición del producto interno permite «extraer» las combinaciones lineales, con lo cual

\left\langle\mathbf{x},e_j\right\rangle =\sum_{i=1}^n x_i \left\langle e_i,e_j\right\rangle

pero como la base es ortonormal

 \left\langle e_i,e_j\right\rangle = \begin{cases}1 & \textrm{si } \ i = j\\ 0 & \textrm{si } \ i \ne j\end{cases}

de donde se deduce que \scriptstyle\left\langle\mathbf{x},e_j\right\rangle = x_j‎​‎‏‮∎

En términos no tan formales, la expresión describe el hecho de que las coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas ortogonal consisten en la magnitud de la proyección del vector sobre cada uno de los ejes que componen al sistema.

Construcción[editar]

Al igual que con una base ortogonal, se puede crear un arreglo de bases ortonormales para formar una matriz ortonormal.

Para poder construir una base ortonormal de una base cualquiera, puede utilizarse el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. En el caso concreto de espacio prehilbertianos, supongamos dada una base finita de la cual se construye una base ortogonal \left\{v_1,v_2,\dots,v_n\right\} a través del método de Gram-Schmidt, por ejemplo. Basta entonces elegir el conjunto

\textstyle\left\{\frac{v_1}{\left\|v_1\right\|},\frac{v_2}{\left\|v_2\right\|},\dots,\frac{v_n}{\left\|v_n\right\|}\right\}

para obtener una base ortonormal, pues cada vector tiene magnitud unitaria.