Cohomología

En matemáticas, específicamente en topología algebraica, la cohomología es un término genérico que designa una sucesión de grupos abelianos asociada a un complejo de cocadenas. Se trata de un método que asigna invariantes algebraicos a un espacio topológico, proporcionando una estructura algebraica más refinada que la homología. La cohomología se obtiene mediante una dualización algebraica de la construcción homológica; en términos concretos, las cocadenas asignan «cantidades» a las cadenas de la teoría homológica.

Desde sus orígenes en la topología, esta idea se convirtió en una herramienta central en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Partiendo de la noción de homología como invariante topológico sobre cadenas, las teorías de homología y cohomología se han extendido a la geometría y al álgebra abstracta.

La cohomología es una teoría contravariante, lo que la hace especialmente natural en muchas aplicaciones: por ejemplo, dada una aplicación $f:X\to Y$ y una construcción $F$ sobre $Y$, la composición con $f$ induce un objeto $f^{*}F$ sobre $X$. Esta propiedad de contravariancia contrasta con la homología, que es covariante, y refleja la dualidad entre ambas teorías.

Además, los grupos de cohomología suelen poseer un producto, el producto copa (cup product), que les otorga una estructura de anillo graduado. Esta estructura adicional hace que la cohomología sea más rica que la homología y permite distinguir espacios topológicos que la homología no puede diferenciar. Por ejemplo, el producto copa permite distinguir el toro de la esfera $S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}$, que tienen la misma homología.

En la práctica, la dirección de las flechas en un complejo de cadenas es, en gran medida, una cuestión de convención; sin embargo, las propiedades funtoriales y algebraicas distinguen claramente la homología de la cohomología.

Véase también

• Cohomología de De Rham
• Cohomología de Čech

Referencias

• Hatcher, A. (2001) "Algebraic Topology", Cambridge U press, England: Cambridge, p. 198, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.
• Hazewinkel, M. (ed.), Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia"; Reidel, Dordrecht, Netherlands: 1988; p. 68. ISBN 1-55608-010-7

  or see Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cohomología», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 ..

• E. Cline, B. Parshall, L. Scott and W. van der Kallen, (1977) "Rational and generic cohomology" Inventiones Mathematicae 39 (2), pp. 143–163.
• Asadollahi, Javad and Salarian, Shokrollah (2007) "Cohomology theories for complexes" Journal of Pure & Applied Algebra 210 (3), pp. 771–787.

• Datos: Q1198376