Símplex

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Un 3-símplice o tetraedro que puede pensarse como una región del espacio que consiste en la parte acotada por (y que también incluye) los cuatro puntos, los seis segmentos de línea y las cuatro caras triangulares

En geometría, un símplex o n-símplex (o símplice) es el análogo en n dimensiones de un triángulo. Más exactamente, un símplex es la envoltura convexa de un conjunto de (n + 1) puntos independientes afines en un espacio euclídeo de dimensión n o mayor, es decir, el conjunto de puntos tal que ningún m-plano contiene más que (m + 1) de ellos. Se dice de estos puntos que están en posición general.

Por ejemplo, un 0-símplex es un punto; un 1-símplex un segmento de una línea; un 2-símplex un triángulo; un 3-símplex es un tetraedro; y un 4-símplex es un pentácoron (en cada caso, con su interior).

Un símplex regular es también un politopo regular. Un n-símplex regular puede construirse a partir de un (n-1)-símplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud común del lado.

La envoltura convexa de cualesquiera m de los n puntos también es un símplex, llamado una m-cara. Las 0-caras se llaman vértices; las 1-caras, lados; las (n-1)-caras se llaman facetas; y la única n-cara es el n-símplex en sí. Por lo tanto, el número de m-caras de un n-símplex puede hallarse en la columna (m + 1) de la fila (n + 1) del Triángulo de Pascal.

Una manera de hallar el volumen de un símplex es mediante los determinantes de Cayley-Menger.

Símplex estándar[editar]

El 2-simplejo estándar en \mathbb{R}^3

El n-símplex estándar es el subconjunto de Rn+1 dado por:

\Delta^n = \{(t_0,\cdots,t_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\Sigma_{i}{t_i} = 1 \mbox{ y } t_i \ge 0 \mbox{ para todo } i\}

Quitando la restricción ti ≥ 0 en la condición anterior da una n-dimensional subespacio afín de Rn+1 conteniendo el n-símplex estándar. Las coordenadas ti se llaman coordenadas baricéntricas. Los vértices del n-símplex estándar son los puntos:

e0 = (1, 0, 0, …, 0),
e1 = (0, 1, 0, …, 0),
\vdots
en = (0, 0, 0, …, 1).

Ese es un mapa canónico desde el n-símplex estándar para un n-símplex arbitrario con vértices (v0, …, vn) dado para

(t_0,\cdots,t_n) \mapsto \Sigma_i t_i v_i

Los coeficientes ti se llaman coordenadas baricéntricas de un punto en el n-símplex. Este símplex general a menudo se llama n-símplex afín, para enfatizar el mapa canónico es una transformación afín. A veces también se llama n-símplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede ser de orientación preservada o revertido.

n-Volumen de un símplex[editar]

Si se tiene un n-símplex con vértices n+1 vértices \scriptstyle \{(x_1^{(i)},\dots,x_n^{(i)}), 1 \le i \le n+1\} el n-volumen se calcula mediante la fórmula de Lagrange:

V = \frac{1}{n!} \begin{vmatrix}
x_1^{(1)} & x_2^{(1)} & \dots & x_n^{(1)} & 1 \\
x_1^{(2)} & x_2^{(2)} & \dots & x_n^{(2)} & 1 \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
x_1^{(n+1)} & x_2^{(n+1)} & \dots & x_n^{(n+1)} & 1 \end{vmatrix}

Topología[editar]

Véase también[editar]