Acotado

En matemática, el concepto de acotado se refiere a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse en una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.

Conjunto parcialmente ordenado y acotado

Dado un conjunto A y una relación binaria $\precsim$ definida entre los elementos de A, que expresaremos $(A,\precsim )$ y la relación se representa:

$x,y\in A\;,\quad x\precsim y$

que se lee: x antecede a y.

La no relación se representa:

$x,y\in A\;,\quad x\not \precsim y$ cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:

$x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x$ el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables. Si se cumple que:

$x\not \precsim y\quad \land \quad y\not \precsim x$ si:

$\exists y\in A\;/\quad x\precsim y\quad \forall x\in A$ se cumple que existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A. Del mismo modo diremos que el conjunto A está acotado inferiormente respecto a $\precsim$ si:

$\exists z\in A\;/\quad z\precsim x\quad \forall x\in A\;$ se cumple que existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A. Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Elemento maximal y minimal

Dado el conjunto A formado por los elementos:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$ en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ representada en la figura, siendo $(A,\precsim )$ un conjunto parcialmente ordenado, los elementos y de A que cumplen:

$y\in A\;es\;maximal\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad y\precsim x\quad \longrightarrow \quad y=x$ y de A es maximal si para todo x de A que cumple que y anteceda a x entonces y es igual a x. Los elementos y de A se denominan maximales y definen una cota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo d, h y l son maximales de A. Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:

$z\in A\;es\;minimal\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad x\precsim z\quad \longrightarrow \quad z=x$ z de A es minimal si para todo x de A que cumpla que x anteceda a z entonces z es igual a x. se denominan minimales y definen una cota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo a, h y k son minimales de A. Se puede ver que el elemento h es maximal y minimal en A

Elemento máximo y mínimo

Dado el conjunto A formado por los elementos:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,k,l\}$ en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ representada en la figura, siendo $(A,\precsim )$ un conjunto parcialmente ordenado. El elemento y de A que cumple:

$y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad x\precsim y$ se denomina máximo y define una cota superior en A, el elemento máximo es único, en el ejemplo l es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es maximal en ese conjunto. Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

$z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad z\precsim x$ se denomina mínimo y define una cota inferior en A, el elemento mínimo es único, en el ejemplo a es mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es minimal en ese conjunto.

Galería de ejemplos

Dado un conjunto A, entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, máximos y mínimos de cada caso en caso de existir: ----

1	2	3	4
maximales: l.	maximales: c, l.	maximales: l.	maximales: d, l.
máximo: l.	máximo: no existe	máximo: l.	máximo: no existe
minimales: a.	minimales: a, d.	minimales: a, b, c.	minimales: a, h.
mínimo: a.	mínimo: no existe	mínimo: no existe	mínimo: no existe

----

5	6	7	8
maximales: l.	maximales: c, l.	maximales: a, l.	maximales: d, e, l.
máximo: l.	máximo: no existe	máximo: no existe	máximo: no existe
minimales: a, d.	minimales: a, d, f.	minimales: a, b, c, d.	minimales: a, d, h.
mínimo: no existe	mínimo: no existe	mínimo: no existe	mínimo: no existe

----

9	10	11	12
maximales: l.	maximales: k, l	maximales: g, j, l.	maximales: h, l.
máximo: l	máximo: no existe	máximo: no existe	máximo: no existe
minimales: a.	minimales: a, g.	minimales: a.	minimales: a, k.
mínimo: a.	mínimo: no existe	mínimo: a.	mínimo: no existe

----

13	14	15	16
maximales: k, l.	maximales: f, k, l.	maximales: g, j, k, l.	maximales: h, k, l.
máximo: no existe	máximo: no existe	máximo: no existe	máximo: no existe
minimales: a.	minimales: a, g.	minimales: a, l.	minimales: a, i, k.
mínimo: a.	mínimo: no existe	mínimo: no existe	mínimo: no existe

----

Conjunto con orden total y acotado

Dado un conjunto A y una relación binaria $\precsim$ definida entre los elementos de A, que expresaremos $(A,\precsim )$ y la relación se representa:

$x\precsim y$

que se lee: x antecede a y.

Si la relación $(A,\precsim )$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:

$x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x$

todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables.

Dado el conjunto A formado por los elementos:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$

en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ representada en la figura, siendo $(A,\precsim )$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

$y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad x\precsim y$

se denomina máximo y define una cota superior en A, el elemento máximo es únicos, en el ejemplo g es el máximo de A.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

$z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad z\precsim x$

se denomina mínimo y define una cota inferior en A, el elemento mínimo es únicos, en el ejemplo a mínimo de A.

Conjunto de los números naturales

Dado el conjunto N de los números naturales y una relación binaria menor o igual: $\leq$ definida entre los números naturales, que expresaremos $(N,\leq )$ y la relación se representa:

$a\leq b$

que se lee: a es menor o igual que b.

La relación $(N,\leq )$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:

$\forall a,b\in N\;:\quad a\leq b\quad \lor \quad b\leq a$

para todo: a, b número natural: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números naturales son comparables.

Dado el conjunto N formado por los elementos:

$N=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \}$

en el que se ha definido una relación binaria $\leq$ representada en la figura, siendo $(N,\leq )$ un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento y de N que cumple:

$\forall x\in N\;:\quad \nexists y\in N\;/\quad x\leq y$

Este elemento sería el máximo en N y definiría una cota superior en N, el conjunto de los números naturales no tiene cota superior.

El elemento z de N que cumple:

$\forall x\in N\;:\quad \exists z\in N\;/\quad z\leq x\quad \longrightarrow \quad z=0$

se denomina mínimo y define una cota inferior en N, el elemento mínimo es único, el cero:0 es el mínimo de N.

Conjunto de los números enteros

Dado el conjunto Z de los números enteros y una relación binaria menor o igual: $\leq$ definida entre los números enteros, que expresaremos $(Z,\leq )$ y la relación se representa:

$a\leq b$

que se lee: a es menor o igual que b.

La relación $(Z,\leq )$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:

$\forall a,b\in Z\;:\quad a\leq b\quad \lor \quad b\leq a$

para todo: a, b número entero: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números enteros son comparables.

Dado el conjunto Z formado por los elementos:

$Z=\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$

en el que se ha definido una relación binaria $\leq$ representada en la figura, siendo $(Z,\leq )$ un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento y de Z que cumple:

$\forall x\in Z\;:\quad \nexists y\in Z\;/\quad x\leq y$

Este elemento sería el máximo en Z y definiría una cota superior en Z, el conjunto de los números enteros no tiene cota superior.

No existe el elemento z de Z que cumple:

$\forall x\in Z\;:\quad \nexists z\in Z\;/\quad z\leq x$

Este elemento sería mínimo y definiría una cota inferior en Z, el conjunto de los números enteros no tiene cota inferior respecto a la relación binaria: $\leq$.

Subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado

Partiendo de un conjunto:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria: $\precsim$ que representamos $(A,\precsim )$ y la relación entre elementos:

$x,y\in A\;,\quad x\precsim y$

que se lee: x antecede a y.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden parcial. Siendo B un subconjunto de A:

$B=\{e,f,h,i\}$

se puede determinar si B está acotado según los siguientes conceptos:​

Mayorante: es todo elemento de A que anteceda a todo elemento de B.

Supremo: es el elemento mayorante que es antecedido por todos los elemento mayorantes.

Mayor: es el nombre que recibe el supremo, en caso de existir, y ser un elemento de B.

Minorante: es todo elemento de A que es antecedido por todo elemento de B.

Ínfimo: es el elemento minorante que antecede a todos los elementos minorantes.

Menor: es el nombre que recibe el ínfimo, en caso de existir, y ser un elemento de B.

Galería de ejemplos

Dado un conjunto A:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ entre los elementos de A que define un orden parcial, y siendo B en subconjunto de A, definido:

$B=\{e,f,h,i\}$

Podemos ver una galería de ejemplo, que permiten discernir: mayorante, supremo y mayor así como: minorante, ínfimo y menor.

---

1	2	3	4
mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: i, j, k, l.
supremo: i.	supremo: i.	supremo: i.	supremo: i.
mayor: i.	mayor: i.	mayor: i.	mayor: i.
minorantes: a.	minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e.	minorantes: no existe
ínfimo: a	ínfimo: e.	ínfimo: e.	ínfimo: no existe
menor: no existe	menor: e.	menor: e.	menor: no existe

---

5	6	7	8
mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: no existe
supremo: i.	supremo: i.	supremo: i.	supremo: no existe
mayor: i.	mayor: i.	mayor: i.	mayor: no existe
minorantes: a, b.	minorantes: no existe	minorantes: no existe	minorantes: no existe
ínfimo: b.	ínfimo: no existe	ínfimo: no existe	ínfimo: no existe
menor: no existe	menor: no existe	menor: no existe	menor: no existe

---

9	10	11	12
mayorantes: l.	mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: i, j, k, l.	mayorantes: no existe
supremo: l.	supremo: i.	supremo: i.	supremo: no existe
mayor: no existe	mayor: i.	mayor: i	mayor: no existe
minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e
ínfimo: e.	ínfimo: e.	ínfimo: e.	ínfimo: e.
menor: e.	menor: e.	menor: e.	menor: e.

---

13	14	15	16
mayorantes: j, l.	mayorantes: no existe	mayorantes: no existe	mayorantes: no existe
supremo: j.	supremo: no existe	supremo: no existe	supremo: no existe
mayor: no existe	mayor: no existe	mayor: no existe	mayor: no existe
minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e.	minorantes: a, b, d, e.
ínfimo: e.	ínfimo: e.	ínfimo: e.	ínfimo: no existe
menor: e.	menor: e.	menor: e.	menor: no existe

Subconjunto de un conjunto con orden total

Dado un conjunto $A\,$:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$

en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria: $\precsim$ que representamos $(A,\precsim )$ y la relación entre elementos:

$x,y\in A\;,\quad x\precsim y$

que se lee: x antecede a y.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica, transitiva y total, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden total.

Siendo B:

$B=\{c,d,e\}$

un subconjunto de A, se puede determinar en B: mayorantes, supremo y mayor, así como: minorantes, ínfimo y menor:

Mayorantes: e, f, g

Supremo: e

Mayor: e

Minorantes: a, b, c

Ínfimo: c

Menor: c

Subconjunto de los números enteros

Dado el conjunto Z de los enteros y una relación binaria menor o igual: $\leq$ definida entre los enteros, que expresaremos $(Z,\leq )$ y la relación se representa:

$x,y\in Z\;:\quad x\leq y$

que se lee: siendo x, y números enteros: x es menor o igual que y.

La relación $(Z,\leq )$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total. Todos los números enteros son comparables respecto a $\leq$.

Dado un subconjunto de Z:

$A=\{x:\quad x\in Z\quad \land \quad -1\leq x\leq 2\}$

podemos ver que:

$Mayorantes=a\in Z\quad \land \quad 2\leq a$

$Supremo=2\,$

$Mayor=2\,$

$Minorantes=b\in Z\quad \land \quad b\leq -1$

$Infimo=-1\,$

$Menor=-1\,$

Intervalos de números reales

Dado el conjunto R de los números reales y una relación binaria menor o igual: $\leq$ definida entre los reales que expresaremos $(R,\leq )$ y la relación se representa:

$x,y\in R\;:\quad x\leq y$

y se lee: siendo x, y números reales: x es menor o igual que y.

La relación $(R,\leq )$ cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, que define un conjunto con orden total. Todos los números reales son comparables respecto a $\leq$.

Considerando un intervalo un subconjunto conexo de los números real, es decir, una parte de recta entre dos valores dados.​

Intervalo cerrado

Dado el intervalo cerrado de números reales:

$I=[a,b]\$

que se define:

$I=[a,b]\;,\quad \forall x\in R\;:\quad a\leq x\leq b$

Se puede ver que:

$Mayorantes=y\in R\quad \land \quad b\leq y$

$Supremo=b\,$

$Mayor=b\,$

$Minorantes=z\in R\quad \land \quad z\leq a$

$Infimo=a\,$

$Menor=a\,$

Intervalo abierto

Dado el intervalo abierto de números reales:

$I=(a,b)\$

que se define:

$I=(a,b)\;,\quad \forall x\in R\;:\quad a<x<b$

Se puede ver que:

$Mayorantes=y\in R\quad \land \quad b\leq y$

$Supremo=b\,$

$Mayor=no\;existe\,$

$Minorantes=z\in R\quad \land \quad z\leq a$

$Infimo=a\,$

$Menor=no\;existe\,$

Intervalo infinito

Dado el intervalo abierto de números reales:

$I=(a,\infty )\$

que se define:

$I=(a,\infty )\;,\quad \forall x\in R\;:\quad a<x$

Se puede ver que:

$Mayorantes=no\;existe\,$

$Supremo=no\;existe\,$

$Mayor=no\;existe\,$

$Minorantes=z\in R\quad \land \quad z\leq a$

$Infimo=a\,$

$Menor=no\;existe\,$

Conjunto acotado en un espacio métrico

Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Se dice que A está acotado si existe algún disco cerrado que lo contenga.

Conjunto acotado en el conjunto de los números reales

Sean A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si existe un M tal que para todo x ∈ A se verifica que |x| es menor o igual que M.

$A\;{\mbox{es acotado}}\quad \iff \quad \exists M\in \mathbb {R} ^{+}/\quad \forall x\in A:\quad |x|\leq M$

Conjunto acotado superiormente

Un conjunto $\scriptstyle A$ completamente ordenado está acotado superiormente si existe un elemento $\scriptstyle y$ que sea mayor que cualquier elemento del conjunto, es decir:

(*)$A\ {\mbox{acotado superiormente}}\iff \exists y:\forall x\in A:\ (x\leq y)$

Nótese que con esta definición puede ser que $\scriptstyle y\notin A$ o que $\scriptstyle y\in A$. A cualquier número $\scriptstyle y$ que satisfaga (*) se le llama cota superior.

Si un conjunto está acotado superiormente en general existirá más de una cota superior, denotando al conjunto de cotas superiores de $\scriptstyle A$ como $\scriptstyle CS_{A}$ se define el supremo de $\scriptstyle A$ como el mínimo de este conjunto:

$\sup A=\min CS_{A}$

Si $\scriptstyle A\subset \mathbb {R}$ está acotado entonces tiene un supremo. Si resulta que $\scriptstyle \sup A\in A$ entonces el supremo resulta además ser un máximo del conjunto $\scriptstyle A$.

Conjunto acotado inferiormente

Sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe k que pertenece a los reales tal que k < x o k = x para todo x que pertenece a A. El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito.

El ínfimo de un conjunto A es el máximo de las cotas inferiores de dicho conjunto.

$Inf\ A=max\ CI_{A}$

Ejemplos

• El conjunto de números enteros positivos consta de un ínfimo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Inferiormente.
• El conjunto de los números enteros negativos consta de un supremo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Superiormente.
• Un conjunto que conste de los números {-3, 0, 1, 5, 32, 120} consta de una mayorante (el 120), una minorante (el -3) y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un Conjunto Acotado.

Función acotada en un dominio D

Una función matemática f se llama función acotada en un dominio D (conjunto abierto conexo no vacío) cuando el conjunto imagen o recorrido de la función es un conjunto acotado, es decir, cuando la función solo existe para un intervalo numérico determinado. Por esta misma razón si una función solo existe en un intervalo numérico concreto se le llama "función acotada" ya que su resultado está limitado (acotado) a unos valores numéricos concretos que son finitos . Por ejemplo, las funciones trigonométricas $\sin x$ y $\cos x$, para las cuales $f(D)=[-1,+1]\,$, son funciones acotadas ya que todos sus posibles resultados están contenidos en un intervalo numérico acotado, en este caso el intervalo cerrado [-1,1].

Función acotada superiormente en un dominio D

Dada una función $f(x)$, se dice que tiene una cota superior o que está acotada superiormente si existe un valor $K$ tal que $f(x)\leq K$ para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota superior de $f(x)$ en D.

Dicho formalmente: $f(x)$ es acotada superiormente si $\exists K\in \mathbb {R} \ /\ f(x)\leq K\ \forall \ x\in D$.

Función acotada inferiormente en un dominio D

Dada una función $f(x)$, se dice que tiene una cota inferior o que está acotada inferiormente si existe un valor K tal que $f(x)\geq K$ para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota inferior de $f(x)$ en D.

Ejemplos

• La función $y=f(x)=x^{2}\,$ (parábola) es una función acotada inferiormente en el eje real con cota igual a 0.
• La función $y=f(x)=-x^{2}\,$ (parábola invertida) es una función acotada superiormente en el eje real con cota igual a 0.
• La función $y=f(x)=\sin(x)\,$ (función seno) es una función acotada en el eje real, con cota inferior igual a -1 y cota superior igual a 1.
• La función $z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$ (la circunferencia unitaria) en el dominio D = {$-1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1$} tiene una cota superior igual a 2 y una cota inferior igual a 0.

Operador acotado

En un espacio de Hilbert (o un espacio de Banach) un operador acotado es aquel que tiene una norma máxima definida sobre la bola unidad. Por tanto para un operador acotado se cumple que:

$\exists K\in \mathbb {R} :\max _{\|v\|=1}\|B(v)\|\leq K$

Algunos operadores importantes de la mecánica cuántica como el hamiltoniano suelen ser no acotados, lo cual tiene cierta significación física ya que en general la mayoría de sistemas físicos no tienen un límite superior de la energía que pueden contener.

Segmento acotado

En un croquis, se llama segmento acotado aquel que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.

Croquis acotado

Representación de un objeto en un plano horizontal o vertical con indicación de las dimensiones del objeto.

Término no acotado

En matemáticas el término no acotado se refiere a alguna entidad matemática infinita o para la cual no es posible establecer una cota máxima para alguna de sus propiedades o medidas.

Conjuntos no acotados

Dentro de un espacio métrico (E, d) un conjunto no acotado es un conjunto infinito tal que tiene puntos situados a distancia infinita, es decir, no existe ningún valor $C\in \mathbb {R}$ tal que:

$d(P,Q)<C\qquad {\mbox{para todo}}\ P,Q\in E$

Alternativamente un conjunto no acotado es aquel que no cabe dentro de ninguna bola de radio finito de dicho espacio métrico.

Operador no acotado

Fijado un espacio vectorial normado, un operador A se dice no acotado o discontinuo si no existe $C\in \mathbb {R}$ tal que:

$\sup _{x}{\frac {\lVert Ax\rVert }{\lVert x\rVert }}<C<\infty$

Véase también

• Conjunto abierto
• Conjunto cerrado

• Elemento maximal y minimal
• Elemento máximo y mínimo

• Elemento mayorante y minorante
• Elemento supremo e ínfimo
• Elemento mayor y menor

Bibliografía

1. R. G. Bartle y D. R. Sherbert: Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
2. Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.
3. DIAZ MORENO, JOSE MANUEL (1998). «6». INTRODUCCION A LA TOPOLOGIA DE LOS ESPACIOS METRICOS (1 edición). UNIVERSIDAD DE CADIZ. p. 98. ISBN 9788477865148. 
4. Ralph P. Grimaldi (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3 edición). Pearson Educación. p. 376. ISBN 9789684443242. 
5. Gregori, V.; Ferrando, J. C. (1995). «2.4». Matemática discreta (2 edición). Editorial Reverte. p. 45. ISBN 9788429151794. 
6. Linés Escardó, Enrique (1991). Principios de análisis matemático (1 edición). Editorial Reverte. p. 104. ISBN 9788429150728. 
7. Walter Rudin (1979). «1.29». Análisis funcional (1 edición). Editorial Reverte. p. 20. ISBN 9788429151152. 
8. Paul Dubreil; Marie Louise Dubreil-Jacotin (1971). «5». Lecciones de álgebra moderna (2 edición). Editorial Reverte. p. 186. ISBN 9788429150704. 
9. Barrester, Hugo. «1.3.3 Relación de orden». Introducción a la Matemática (1 edición). EUNED. p. 40. 

• Datos: Q726212