Ángulo

se puede medir (son subconjuntos de puntos del plano, por lo tanto infinitos), solo se puede medir la abertura del ángulo. Las unidades de medida son grados o radianes. Se subentenderá que cuando hablamos de "medida del ángulo" estamos hablando de medir su abertura.

Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. y el lapiz.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0º.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de ${\frac {\pi }{2}}$ rad. Es decir, mayor de 0º y menor de 90º (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a ${\frac {\pi }{2}}$ rad Es equivalente a 90º sexagesimales (o 100g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a ${\frac {\pi }{2}}$ rad y menor a $\pi \,$ rad Mayor a 90º y menor a 180º sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ rad Equivalente a 180º sexagesimales (o 200g centesimales). También es conocido como ángulo extendido.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi \,$ rad Equivalente a 360º sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):​

Tipo	Descripción
[[Ángulo convexo o saliente]]	Es el que mide menos de $\pi \,$ rad. Equivale a más de 0º y menos de 180º sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
[[Ángulo cóncavo, reflejo o entrante]]	Es el que mide más de $\pi \,$ rad y menos de $2\pi \,$ rad. Esto es, más de 180º y menos de 360º sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

• ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
• ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
• ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

En función de su amplitud, se denominan:

• ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud,
• ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90º,
• ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180º,
• ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360º.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Problema clásico: la trisección del ángulo

La trisección del ángulo, problema clásico, consistente en intentar dividirlo en tres partes iguales usando sólo regla y compás.

Ángulos tridimensionales

• El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
• El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales

• Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en el espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:

$\cos \theta _{xy}={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}$

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.

Véase también

• Ángulos congruentes
• Trigonometría
• Goniometría
• Circunferencia
• Círculo

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre ángulos.
• Ángulos, en descartes.cnice.mec.es (09-04-09)