Variable aleatoria

Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

Definición de variable aleatoria

Concepto intuitivo

Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Definición formal

Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio.​​

$X:\Omega \to \mathbb {R}$

La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.​​

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ y un espacio medible $(S,\Sigma )$, una aplicación $X:\Omega \longrightarrow S$ es una variable aleatoria si es una aplicación ${\mathcal {A}},\Sigma$-medible.

En la mayoría de los de $\mathbb {R}$), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ una variable aleatoria real es cualquier función ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$-medible donde ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ es la σ-álgebra boreliana.

Rango de una variable aleatoria

Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos R_X, a la imagen o rango de la función $X$, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:...

$R_{X}=\{x\in \mathbb {R} |\ \exists \,\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}$

Ejemplo

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

$\Omega =\left\{{\textrm {cc,cx,xc,xx}}\right\}$,

donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función

$X:\Omega \to \mathbb {R}$

dada por

${\textrm {cc}}\to 2$

${\textrm {cx}},{\textrm {xc}}\to 1$

${\textrm {xx}}\to 0$

El recorrido o rango de esta función, R_X, es el conjunto

$R_{X}=\left\{0,1,2\right\}$

Caracterización de variables aleatorias

Tipos de variables aleatorias

Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente​

• Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía. (Véanse las distribuciones de variable discreta).

• Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.​ (Véanse las distribuciones de variable continua).

Distribución de probabilidad de una v.a.

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función $F_{X}(x)$, que asigna a cada evento definido sobre $X$ una probabilidad dada por la siguiente expresión:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

Y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

1. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ y $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$
2. Es continua por la derecha.
3. Es monótona no decreciente.

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

Función de densidad de una v.a. continua

La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.

La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

Funciones de variables aleatorias

Sea una variable aleatoria $X,\!$ sobre $\Omega \,\!$ y una función medible de Borel $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, entonces $Y=g(X)\,\!$ será también una variable aleatoria sobre $\Omega \,\!$, dado que la composición de funciones medibles también es medible a no ser que $g$ sea una función medible de Lebesgue. El mismo procedimiento que permite ir de un espacio de probabilidad $(\Omega ,P)\,\!$ a $(\mathbb {R} ,dF_{X})$ puede ser utilizado para obtener la distribución de $Y\,\!$. La función de probabilidad acumulada de $Y\,\!$ es

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).$

Si la función g es invertible, es decir g^-1 existe, y es monótona creciente, entonces la anterior relación puede ser extendida para obtener

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)=\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y))$

y, trabajando de nuevo bajo las mismas hipótesis de invertibilidad de g y asumiendo además diferenciabilidad, podemos hallar la relación entre las funciones de densidad de probabilidad al diferenciar ambos términos respecto de y, obteniendo

$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|$.

Si g no es invertible pero cada y tiene un número finito de raíces, entonces la relación previa con la función de densidad de probabilidad puede generalizarse como

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|$

donde x_i = g_i^-1(y). Las fórmulas de densidad no requieren que g sea creciente.

Ejemplo

Sea X una variable aleatoria real continua y sea Y = X².

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).$

Si y < 0, entonces P(X² = y) = 0, por lo tanto

$F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{si}}\quad y<0.$

Si y = 0, entonces

$\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),$

por lo tanto

$F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{si}}\quad y\geq 0.$

Parámetros de una v.a.

La función de densidad o la distribución de probabilidad de una v.a. contiene exhaustivamente toda la información sobre la variable. Sin embargo resulta conveniente resumir sus características principales con unos cuantos valores numéricos. Estos son, fundamentalmente la esperanza y la varianza.

Esperanza

La esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una v.a. es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\,\!$ y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad $p(x_{i})$ la esperanza se calcula como:

$E[X]=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})\,\!$

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad $f(x)\,\!$:

$E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,\!$

o $\operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P\,\!$

La esperanza también se suele simbolizar con $\mu =E[X]\,\!$

El concepto de esperanza se asocia comúnmente en los juegos de azar al de beneficio medio o beneficio esperado a largo plazo.

Varianza

La varianza es una medida de dispersión de una variable aleatoria $X\,\!$ respecto a su esperanza $E[X]\,\!$. Se define como la esperanza de la transformación $\left(X-E[X]\right)^{2}\,\!$:

$\sigma ={\sqrt {V(X)}}\,\!$ o bien $\sigma ^{2}=V(X)\,\!$

Véase también

• Distribución de probabilidad.
• Distribución binomial.
• Distribución normal.
• Esperanza matemática.
• Varianza.

Bibliografía

• Peña Sánchez de Rivera, Daniel (2008). Fundamentos de Estadística (1ª edición). Alianza Editorial. p. 688. ISBN 9788420683805. 
• Ropero Moriones, Eva (2009). Manual de estadística empresarial (1ª edición). Delta Publicaciones. p. 200. ISBN 9788492453214. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Variable aleatoria.