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En matemáticas, se denomina igualdad a un enunciado en el que dos expresiones tienen el mismo valor numérico , o bien denotan el mismo objeto matemático. Por ejemplo, la frase «la suma de dos y dos» y la expresión «cuatro» tienen el mismo valor numérico. La expresión «es igual a» o «es lo mismo que» se suele representar en matemáticas con el signo =. Así, el ejemplo anterior suele escribirse como:

$2+2=4\,$

De un modo más abstracto, el signo de la igualdad se utiliza para relacionar dos símbolos que se refieren a un mismo objeto matemático. Como caso particular, se dice que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. De manera general, cuando dos símbolos son iguales, uno puede ser sustituido por el otro a todos los efectos.

Origen de la notación

El primer uso del signo igualdad, la ecuación equivale a la notación moderna 14x+15=71, tomado de The Whetstone of Witte de Robert Recorde (1557).

El signo = (igual), utilizado para indicar la igualdad de dos expresiones matemáticas, fue ideado por el matemático Robert Recorde en 1557, si bien el símbolo que utilizaba era más largo que el que se usa en la actualidad.​

Cansado de escribir "is equalle to" (sic) usó un par de paralelas, líneas gemelas de igual longitud, en su trabajo Whetstone of Witte. Con la publicación de este libro, Recorde introdujo por primera vez el álgebra en Inglaterra.​

Sin embargo, el uso del símbolo de igualdad actual no se generalizó hasta su empleo por Gottfried Leibniz e Isaac Newton cien años más tarde. Anteriormente coexistió otro símbolo para la igualdad () empleado entre otros por René Descartes.​

Igualdad en álgebra elemental

Dados dos objetos x e y, donde el uso de la palabra «objeto» comprende tanto a aquellos presentes en la experiencia sensible como a los entes de razón, para indicar que dos objetos x e y son iguales se utiliza el símbolo = de esta manera:​

$x=y$

Esto significa que los objetos x e y, representados por diferentes letras y aparentemente distintos, son en realidad el mismo.

Propiedades de la igualdad

Dado un conjunto S, dotado de las operaciones de suma y multiplicación. Si a, b, c, d son cuatro elementos en S, entonces para la relación de igualdad (=) se cumplen las propiedades siguientes:

• Si a = b y c = d entonces
  • a + c = b + d,
  • ac =bd:
• Propiedad cancelativa de la suma: en la adición con cualquier clase de números, sucede que si a + c = b + c, entonces a = b.
• Propiedad de cancelación de la multiplicación: si ac =bc y c no es el neutro de la suma en S, entonces a = b. ​

Tipos

Las igualdades matemáticas pueden ser:

1. Condicionales o ecuaciones: estas no son ciertas en general para cualquier valor arbitrario de las variables que intervienen, sino que se cumplen solo para ciertos valores concretos. Por ejemplo, la expresión $3x=6\,$ no es cierta en general para cualquier valor arbitrario de la variable x, sino solo para cierto valor concreto (en este caso $x=2$), llamado solución de la ecuación.
2. Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo $(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16\,$ es una identidad algebraica que es cierta para todos los valores de x. Otro ejemplo es una función $y=f(x)$, donde el símbolo x representa a la variable independiente, y el símbolo y representa a la variable dependiente.

Teoría de conjuntos

El axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son iguales si tienen los mismo elementos. La igualdad entre dos conjuntos A = B se da precisamente cuando A está contenido en B, y además B está contenido en A.​

Cálculo de predicados de primer orden con igualdad

La lógica de predicados contiene los axiomas estándar para la igualdad que formalizan la ley de Leibniz, propuestos por el filósofo Gottfried Leibniz en el siglo XVII. La idea de Leibniz era que dos cosas son idénticas si y solamente si tienen exactamente las mismas propiedades. Para formalizar esto, debemos poder decir:

dados cualesquiera $x\,$ y $y\,$, $x=y\,$ si y solamente si, dado cualquier predicado $P\,$, $P(x)\,$ si y sólo si $P(y)\,$.

Sin embargo, en la lógica de primer orden, no podemos cuantificar sobre predicados. Así, necesitamos utilizar un esquema de axioma:

dados cualesquiera x y y, si x es igual a y, entonces P(x) si y sólo si P(y).

Este esquema de axioma, válido para cualquier predicado P en una variable, responde solamente por una dirección de la ley de Leibniz; si x y y son iguales, entonces tienen las mismas propiedades. Podemos garantizar la otra dirección simplemente postulando:

dado cualquier x, x es igual a x.

Entonces si x e y tienen las mismas propiedades, entonces en particular son iguales con respecto al predicado P dado por P(z) si y sólo si x = z, puesto que P(x) vale, P(y) deben también valer, luego x = y dependiendo de la variable.

La relación contraria es una relación de diferencia, notada con un igual tachado: $\neq \,$

Relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia son una generalización de la noción de igualdad. Una relación de equivalencia establece reglas formales bajo las cuales dos objetos matemáticos son equivalentes en determinado contexto.​ Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto determina sobre este conjunto una partición, es decir, una colección de clases de equivalencia. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente. Decimos que dos elementos, $x$ e $y$, del conjunto original son equivalentes si pertenecen a la misma clase de equivalencia, y en tal caso se representa por $x\sim y$.

Para que una relación entre los elementos de un conjunto sea de equivalencia debe cumplir las siguientes condiciones:​

• Reflexividad o principio de identidad: $x\sim x$.
• Simetría: si $x\sim y$ entonces $y\sim x$.
• Transitividad: si $x\sim y$ e $y\sim z$, entonces $x\sim z$.

Por ejemplo, los números naturales se pueden dividir en dos clases, usando la relación de equivalencia 'dos números están relacionados si dan el mismo resto al dividirlos por dos'. Esta relación divide los números en dos clases, los pares y los impares. El conjunto cociente contiene dos elementos, que son, el conjunto de los números pares, y el conjunto de los impares. Según esta relación, 4 y 8 pertenecen a la misma clase y son 'equivalentes', pero 16 y 17 pertenecen a clases distintas. Este es un caso particular de congruencias entre números enteros.

Véase también

• La igualdad extensional.
• Congruencia (teoría de números).
• 0,9 periódico.
• Desigualdad matemática.
• Aproximación.

Referencias

[[Categoría:Lógica matemática]] [[Categoría:Aritmética elemental]]