Triángulo rectángulo
En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.[1] Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios.[2]
Terminología
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Solo si la medida de los tres lados son números enteros, estos constituyen un trío de nombre terna pitagórica.
Propiedades
- Todo triángulo rectangulo tiene exactamente dos ángulos agudos.
- La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
- La hipotenusa es igual que la suma de los cuadrados de los dos catetos.
- Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.[3]
Tipos de triángulo rectángulo
Existen dos tipos de triángulo rectángulo:
- Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide veces la longitud del cateto.
- Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto menor.
-
Triángulo rectángulo isósceles.
-
Triángulo rectángulo escaleno.
- Triángulo rectángulo de lados consecutivos: las medidas de sus lados tienen 3, 4 y 5 unidades de longitud. Aparece en las culturas del cercano oriente: Babilonia y Egipto. Histórico, útil y didáctico, adaptable a un geoplano.[4] Sin lados consecutivos es el triángulo de lados que miden 5,12 y 13 unidades de longitud, menos conocido que el anterior.
Relaciones métricas
Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.
- La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.
Por semejanza de triángulos, tenemos que:
- El cuadrado de la altura relativa de los catetos.
- El cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.
- El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que:
|
Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Teorema de la altura
El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
|
- Demostración
La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por se tiene:
por lo que
(1)
Otra forma del mismo teorema
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (teorema del cateto.
) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el- ;
(h2)
lo que al simplificar en el último término de la ecuación (
) la raíz con los cuadrados nos conduce a:(h3)
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.
La ecuación (
) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:
|
Teorema del cateto
El teorema del cateto establece lo siguiente:
|
Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:
Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.
Demostración
Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:
- Todos tienen un ángulo recto.
- Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
- Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
- Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
de donde,
- Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC
y el teorema queda demostrado.
Corolario
|
Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:
en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:
donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.
Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. La medida de un cateto es la media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.
, es decir:
Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:
; ;
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.
Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo, con vértice en 'A, con medida ', son:
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
- ; su inverso multiplicativo, si existe, se denomina cosecante
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
- ; su inverso multiplicativo si existe, se llama secante.
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
- ; el inverso de la razón anterior, si es posible, se nombra cotangente.[5]
Área
Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).
(A1)
donde a y b de la ecuación (
En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (
) de la siguiente manera:La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[6] de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación ( ) a todo triángulo.
Área máxima
Un triángulo de mayor área que se puede inscribir en una semicircunferencia es el que tiene cada cateto igual al radio r de la semicircunferencia y la hipotenusa coincide con el diámetro. Es pues un triángulo rectángulo isósceles.[7]
En tres dimensiones
Un triángulo rectángulo que gira, teniendo como eje uno de sus catetos y como generatriz su hipotenusa, genera un cono de radio igual el cateto no axial y altura igual al cateto axial.
Si dos triángulos rectángulos semejantes engendran dos conos, en las condiciones del enunciado precedente, entonces sus volúmenes son proporcionales a los cubos de cualquier par de lados correspondientes. También las áreas son proporcionales a los cuadrados de cualquier par de lados correspondientes.
Si ambos conos tienen el mismo eje, y un plano secante que interseca ambos conos genera dos elipses, dichas elipses tienen ejes proporcionales entre sí (es decir, son semejantes).[8]
Véase también
- Teorema de Pitágoras
- Triángulo
- Cateto
- Hipotenusa
- Triángulo de Kepler
- Teorema de la altura
- Triángulo sagrado egipcio
Referencias
- ↑ Weisstein, Eric W. «Triángulo rectángulo». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- ↑ Hofmann: "Historia de la Matemática" (2003), Limusa Noriega Editores, México, D.F. pg. 11
- ↑ Nichols. Palmer. Schacht: Geometría Moderna, Cecsa México décimatercera impresión (1989)
- ↑ Esta nota se basa en Matemáticas, publicación de la revista Life
- ↑ Álgebra y trigonometría con geometría analítica ISBN 968-880-222-0
- ↑ Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".
- ↑ Se usa la función área, A(x)= 2rh, donde la altura h es media proporcional entre x y (2r-x), proyecciones de los catetos sobre el diámetro
- ↑ Stanley Clemens; Phares O'Daffer; Thomas J Cooney (1984). Geometria Con Aplicaciones Y Solución De Problemas. Addison Wesley. ISBN 0-201-64407-X.
- Sitio web: Disfruta las matemáticas [1].
Enlaces externos
- Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Triángulo rectángulo.