Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función $f(t)$​ definida para todos los números positivos $t\geq 0$, es la función:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

siempre y cuando la integral esté definida y en la cual ${\mathcal {L}}$ es llamado el operador de la transformada de Laplace. Cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_{B}(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de $f(t)$.

Perspectiva histórica

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de las formas:

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx$

$z=\int X(x)x^{A}\,dx$

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$

que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral como la siguiente:

$\int x^{s}\phi (s)\,dx$

análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de las hoy llamadas series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.

Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad —ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería—, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.

La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente, surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el «cálculo operacional», si se tiene una ecuación diferencial de la forma

$(D-a)y=f(t)\,$

donde D es el operador diferencial $D\,=\,d/dt$, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

$y=e^{at}\int e^{-at}f(t)dt+c_{1}e^{at}$.

Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

$y={\frac {1}{D-a}}f(t)=e^{at}\int e^{-at}f(t)dt+c_{1}e^{at}$

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como en este ejemplo:

$y''-3y'+2y=e^{t}\,$

que puede reescribirse para resaltar el operador D como:

$(D^{2}-3D+2)y=e^{t}\,$

Heaviside propuso despejar y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

$y={\frac {e^{t}}{D^{2}-3D+2}}={\frac {e^{t}}{(D-1)(D-2)}}={\frac {1}{D-2}}e^{t}-{\frac {1}{D-1}}e^{t}$

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

$y=(e^{2t}\int e^{-2t}f(t)dt+c_{1}e^{2t})-(e^{t}\int e^{-t}f(t)dt+c_{2}e^{t})=(e^{2t}(-e^{-t})+c_{1}e^{2t})-(e^{t}(t)+c_{2}e^{t})$

${\Big (}y=c_{1}e^{2t}-(c_{2}+1)e^{t}-te^{t}{\Big )}$

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que sus resultados no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que, finalmente, atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no solo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.

Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Propiedades

Linealidad

Si $a$ y $b$ son constantes:

${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

Derivación

${\mathcal {L}}_{s}\{f'(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$.

Integración

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}$

Dualidad

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

Desplazamiento de la frecuencia

${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$

Desplazamiento temporal

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$

En estas ecuaciones, $u(t)$ es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

${\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]$

Convolución

${\mathcal {L}}\{f*g\}=F(s)G(s)$

Transformada de Laplace de una función con periodo p

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt$

Condiciones de convergencia

Se puede establecer una condición suficiente para la convergencia mediante el concepto del orden exponencial.

Se dice que una función $f$ es de orden exponencial $c$ si existen constantes $c$, $M>0$ y $T>0$ tales que $|f(t)|\leq Me^{ct}$ para todo $t>T$.

Por ejemplo, la función $f(t)=t^{n}$ puede ser considerada de orden exponencial para cualquier valor positivo de $c$, mientras que $e^{t^{2}}$ no posee orden exponencial, pues crece con mayor rapidez que cualquier función de la forma $e^{ct}$ con $c$ real.

El teorema consiste en que para toda $f$ continua por tramos definida en el intervalo $[0,\infty )$ y de orden exponencial $c$, se tiene que ${\mathcal {L}}\{f\}$ existe para $s>t$.

De modo que la función $f(t)=t^{n}$ posee transformada de Laplace para $s>0$ y la existencia de la transformada de Laplace para la función $e^{t^{2}}$no está asegurada mediante este teorema.

Teorema del valor inicial

Sea una función $f\in \varepsilon$ derivable a trozos y que $f^{\prime }\in \varepsilon .$ Entonces :

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

$\varepsilon$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final

Sea$f\in \varepsilon$ una función derivable a trozos tal que $f^{\prime }\in \varepsilon$.Entonces :

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$

$\varepsilon$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Demostración de las propiedades de la transformada de Laplace

Propiedades de linealidad

Partiendo de la propia definición de transformada,

${\mathcal {L}}\{C1\cdot F(t)+C2\cdot G(t)\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}[C1\cdot F(t)+C2\cdot G(t)]dt$

$=C1\cdot \int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\cdot F(t)dt+C2\cdot \int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\cdot G(t)dt=C1\cdot {\mathcal {L}}\{F(t)\}+C2\cdot {\mathcal {L}}\{G(t)\}$

Propiedades de la transformada de una derivada

Suponga que $f'(t)$ es continua para $t\geq 0$, partimos de la propia definición de la transformada e integramos por partes,

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt$

definiendo $u=e^{-st}$ y $dv=f'(t)dt$, tenmos $du=-se^{-st}dt$ y $v=f(t)$. Luego remplazando en la integral,

$\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt=\left.e^{-st}f(t)\right|_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }sf(t)e^{-st}dt=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-})$

Propiedad de desplazamiento en el eje S

Esta propiedad es obtenida a través de la sustitución de $s$ por $s-a$ por definición de la transformada.

$F(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

$F(s-a)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{(s-a)}t}f(t)dt=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}[e^{at}\cdot f(t)]dt={\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}$

Propiedad de desplazamiento en el eje t

Esta propiedad es obtenida a través de la definición, sabiendo que la definición de una función Heaviside,

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\cdot u(t-a)\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(t-a)\cdot u(t-a)e^{-st}dt=\int \limits _{a}^{\infty }f(t-a)e^{-st}dt$

Es necesario hacer las sustituciones $t-a=T$ y $dt=dT$, resultando tras sustituir,

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\cdot u(t-a)\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(T)\cdot e^{-s{(T+a)}}dT=e^{-as}\int \limits _{0}^{\infty }f(T)\cdot e^{-sT}dT$

Así, usando la definición de la transformada y volviendo a t,

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\cdot u(t-a)\}=e^{-sa}{\mathcal {L}}\{f(t)\}$

Propiedades de la transformada de una integral

Siendo $h(t)=\int \limits _{0}^{t}f(T)dT$ e $h'(t)=f(t)$, usando las propiedades de la transformada de una derivada, tenemos:

${\mathcal {L}}\{h'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{h(t)\}-h(0)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$

Sabiendo que $h(0)=0$,

${\mathcal {L}}\{h(t)\}=\left({\frac {1}{s}}\right)\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}$

Propiedades de la transformada de la delta de Dirac

Conociendo previamente la función delta de Dirac, saliendo de la propia definición,

${\mathcal {L}}\{\delta (t-a)\}=\int \limits _{0}^{\infty }\delta (t-a)\cdot e^{-st}dt=e^{-as}$

Propiedades de la transformada de funciones periódicas

Usando la definición de transformada, y teniendo conocimiento previo de la función periódica.

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\int \limits _{0}^{p}+\int \limits _{p}^{2p}+\int \limits _{2p}^{3p}+\ldots$, es necesario hacer la sustitución $t=T+p$ y $dt=dT$, así como sustituir en todos los términos. Ejemplo del segundo término: $\int \limits _{p}^{2p}f(t)e^{-st}dt=e^{-sp}\int \limits _{0}^{p}e^{-sT}dT$, haciendo para los diversos términos, ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=[1+e^{-sp}+e^{-2sp}+...]\int \limits _{0}^{p}f(t)e^{-st}dt$, la serie de términos a seguir es una serie geométrica que converge en $x=e^{-sp}<1$, entonces la transformada de las funciones periódicas,

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\left({\frac {1}{1-e^{-sp}}}\right)\int \limits _{0}^{p}e^{-st}\cdot f(t)dt$

Propiedades de la derivada de una transformada

Usando la definición de transformada,

${d \over ds}F(s)={d \over ds}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\int \limits _{0}^{\infty }f(t){d \over ds}e^{-st}dt$

$\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cdot (-t)e^{-st}dt=\int \limits _{0}^{\infty }[-tf(t)]e^{-st}dt=-{\mathcal {L}}\{tf(t)\}$

Propiedades de la integral de una transformada

Sea ${\mathcal {L}}\{{f(t)}\}=F(s).$ Integrando la función en el espacio de las transformadas, $\int \limits _{s}^{\infty }F(\omega )d\omega =\int \limits _{s}^{\infty }\left[\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\omega t}f(t)dt\right]d\omega$, se integra primero en $\omega$ y después en $t$,

$\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\left[\int \limits _{s}^{\infty }e^{-\omega t}d\omega \right]dt=-\int \limits _{0}^{\infty }{f(t) \over t}[e^{-\infty }-e^{-st}]dt=\int \limits _{0}^{\infty }{f(t) \over t}e^{-st}dt={\mathcal {L}}\left\{{\dfrac {f(t)}{t}}\right\}$

Tabla de las transformadas de Laplace más comunes

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella, $u\,$ denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID	Función	Dominio en el tiempo $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	Dominio en la frecuencia $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	Región de la convergencia para sistemas causales
1	retraso ideal	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	impulso unitario	$\delta (t)\$	$1\$	$\mathrm {todo} \ s\,$
2	enésima potencia retrasada y con desplazamiento en la frecuencia	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2a	n-ésima potencia	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$s>0\,$
2a.1	q-ésima potencia	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$s>0\,$
2a.2	escalón unitario	$u(t)\$	${1 \over s}$	$s>0\,$
2b	escalón unitario con retraso	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$s>0\,$
2c	Rampa	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0\,$
2d	potencia n-ésima con cambio de frecuencia	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>-\alpha \,$
2d.1	amortiguación exponencial	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$s>-\alpha \$
3	convergencia exponencial	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
3b	exponencial doble	${\frac {1}{b-a}}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$	${\frac {1}{(s+a)(s+b)}}$	$s>-a\ y\ s>-b\$
4	seno	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5	coseno	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$s>0\$
5b	seno con fase	$\sin(\omega t+\varphi )\cdot u(t)$	${\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$s>0\$
6	seno hiperbólico	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
7	coseno hiperbólico	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$s>|\alpha |\$
8	onda senoidal con amortiguamiento exponencial	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
9	onda cosenoidal con amortiguamiento exponencial	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$s>-\alpha \$
10	raíz n-ésima	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{t}}\right)$	$s>0\,$
11	logaritmo natural	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$s>0\,$
12	Función de Bessel de primer tipo, de orden n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$s>0\,$ $(n>-1)\,$
13	Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$s>|\omega |\,$
14	Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
15	Función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	Función de error	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s>0\,$
Notas explicativas: $u(t)\,$ representa la función escalón unitario $\delta (t)\,$ representa la Delta de Dirac $\Gamma (z)\,$ representa la función gamma $\gamma \,$ es la constante de Euler-Mascheroni $t\,$, un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variable independiente $s\,$ es la frecuencia angular compleja $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, y $\omega \,$ son números reales $n\,$es un número entero Sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, la respuesta al impulso para sistemas causales no es el mismo que la misma para sistemas anticausales.

Relación con otras transformadas

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier y la transformada Z (véase por ejemplo: Relación de la transformada Z con la transformada de Laplace).

Véase también

• Causalidad (física)

• Transformada de Mellin

Bibliografía

Spiegel, Murray R. (2014). Transformadas de Laplace. McGraw Hill Interamericana de México. 

Enlaces externos

• Fernández Rodríguez, César René (2006). Transformada de Laplace y Ecuaciones de Volterra (PDF). Universidad de Santiago de Chile. Consultado el 20 de abril de 2020. 
• Ventura García, Gabriel Alberto (4 de marzo de 2010). «Notas sobre transformada» (PDF). Consultado el 20 de abril de 2020. 
• Baraniuk, Richard (19 de diciembre de 2013). «La Transformada de Laplace». Consultado el 20 de abril de 2020. 
• «Transformada de Laplace». Consultado el 20 de abril de 2020. 
• Cánovas Peña, José Salvador (8 de enero de 2008). «Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales». Consultado el 20 de abril de 2020. 
• «Transformadas de Laplace de algunas distribuciones relevantes». Consultado el 20 de abril de 2020. 

• Datos: Q199691
• Multimedia: Laplace transformation / Q199691