Función unitaria de Heaviside

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

$H(x) = u(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Definiciones alternativas

función escalón considerando H(0) = 1/2.

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor H(0), que es convencional. La mayoría de autores lo definen como H(0) = 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

$H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )$

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la siguiente forma:

$H_\alpha(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \alpha, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}, \qquad \alpha \in \left\{ 0, \frac{1}{2}, 1 \right\}$

Una forma de representar esta función es a través de la integral

$H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\epsilon} e^{-i x \tau} d\tau$

• Definición como límite de otras funciones.

$H(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^{-nx}+1}, \qquad H(x) = \lim_{t\to 0} \left (\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{t} \right )$

Propiedades

• Cambio de signo del argumento.

$H(-x) = 1-H(x)\,$

• La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

$H'(x-a) = \delta(x-a)\,$

• Transformada de Laplace.

$\mathcal{L}\{ H(x-a) \}(s) = \frac{e^{-as}}{s}$

• La función primitiva es la función rampa:

$\int_{-\infty}^x H(x-a)dx = \mbox{ramp}(x-a)\,$

• Es la integral de la función delta de Dirac.

$H(x-a) = \int_{-\infty}^x { \delta(t-a)} dt$

Véase también

• Continuidad (matemática)

Referencias

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Heaviside Step Function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.