Teoremas de Sylow

En la teoría de grupos existen una serie de resultados conocidos como los teoremas de Sylow. Estos teoremas establecen propiedades elementales sobre los grupos finitos.

El primero es un teorema de existencia y dice

TS-I: Si G un grupo de orden finito m tal que una potencia de un número primo p lo divide (en otras palabras: $p^n|m$) entonces existe un subgrupo H en G que tiene exactamente $p^n$ elementos

Para enunciar el segundo teorema es necesario el concepto de p-subgrupo de Sylow. Un p-subgrupo de Sylow es un subgrupo H de G cuyo orden es una potencia $p^n$ pero donde $p^{n+1}$ no divide el orden de G. Con esto tenemos:

TS-II: Cualquiera dos p-subgrupos de Sylow son conjugados

Un tercer teorema se puede enunciar como:

TS-III: El número de p-subgrupos de Sylow es congruente a 1 módulo p y divide el orden de G

Las demostraciones son excelentes ejemplos del poder abstracto de la teoría de grupos donde se hace un muy interesante uso de la ecuación de clase.