Normalizador

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En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un sólo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición[editar]

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por

N(S) = \{g \in G : gSg^{-1} = S\}

En donde gSg^{-1} es el conjunto definido como \{ gsg^{-1} : s\in S\}.

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades[editar]

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

Demostración
Para demostrar que es un subgrupo, basta con tomar dos elementos a,b\in N(S) y verificar que ab^{-1} también lo está, esto es, habría que demostrar que para todo s\in S el elemento (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1} también pertenece a S.

Primero demostramos que si b\in N(S) entonces b^{-1}\in N(S) ya que para cualquier s\in S existe un s_1\in S que satisfaga  bsb^{-1}=s_1, pero entonces s = (b^{-1})s_1(b)\in S, es decir, b^{-1}\in N(S)

Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando

(ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1} = ab^{-1}s(b^{-1})^{-1}a^{-1} = ab^{-1}s ba^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}

observamos que a está conjugando al elemento b^{-1}sb, el cual a su vez es la conjugación por b^{-1} de s.

Pero como b\in N(S), entonces b^{-1}\in N(S) y por tanto b^{-1}sb\in S. Denotemos por s_2 a b^{-1}sb y entonces la expresión original se reescribe como a s_2 a^{-1} que, al estar a en N(S), también pertenece a S.

Concluimos entonces que (ab^{-1})s(ab^{-1})^{-1}\in S y por tanto N(S) es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Demostración
Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales gNg^{-1}=N, que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: [G : N(H)] y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito.

Además, dos clases de conjugación coinciden, aHa^{-1}=bHb^{-1}, si y sólo si ab^{-1}\in N(H)

  • Según Lang, se consideran estas dos más:
  • Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
  • El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Ejemplos[editar]

  • El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
  • El subgrupo H de S_4 generado por el ciclo (1,2,3,4)\, no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones (1,2,3,4), (2, 4), (1,3)(2,4)\,.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
  • Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos (2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.
  • Lang, Serge: Álgebra (1973), Aguilar, Madrid, primera reimpresión.