Teorema de los números primos

En teoría de números el teorema de los números primos es un resultado sobre la distribución asintótica de los números primos.

Enunciado del teorema

Gráfico comparativo de π(x) (rojo), x / ln x (verde) y Li(x) (azul).

Sea $\pi(x)\,$ el número de primos que son menores o iguales que $x\,$. El teorema establece que:

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$, donde $\ln (x)$ es el logaritmo natural de $x$.

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de $x$ muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de $x\,$ muy grandes es casi igual a 1.

Una mejor aproximación viene dada por la integral logarítmica desplazada:

$\pi(x) \approx \operatorname{Li} (x)$ , donde $\operatorname{Li} (x)$ es la integral logarítmica desplazada de $x$.

Historia

El teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798 y la conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la función zeta de Riemann $\zeta(z)\,$ no tiene ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

$\pi(x)\approx\mbox{Li}(x)$

donde

$\mbox{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dy}{\ln(y)}$.

Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente, siendo la mejor aproximación actual la dada por:

$\pi(x)=\mbox{Li}(x)+O\left(x\exp\left(-\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln\ln x)^{1/5}}\right)\right)$

donde $O(f(x))\,$ se define como la función asintótica a $f(x)\,$ y $A\,$ es una constante indeterminada.

Para valores de $x\,$ pequeños se había demostrado que $\pi(x)<\mbox{Li}(x)\,$, lo que llevó a conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que $\mbox{Li}(x)\,$ era una cota superior estricta de $\pi(x)\,$ (esto es que la ecuación $\pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,$ no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es cruzada para valores de $x\,$ suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a $\scriptstyle 10^{317}\,$, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a $\scriptstyle 10^{176}\,$. En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación $\pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,$. Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.

Relación con la hipótesis de Riemann

Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.

Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primos puede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).$

si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:

$|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{para todo } x \ge 2657.$

Aproximaciones para el enésimo número primo

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo número primo, denotado por p_n:

$p_n \approx n \ln n.$

Una aproximación mejor es:

$p_n = n \ln n + n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) + O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).$

Teorema de los números primos para progresiones aritméticas

Sea $\pi_{n,a}(x)$ la función que denota el número de primos en una progresión aritmética a, a + n, a + 2n, a + 3n, … menor que x. Dirichlet y Legendre conjeturaron, y Vallée-Poussin demostró, que, si a y n son coprimos, entonces

$\pi_{n,a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(n)}\mathrm{Li}(x),$

donde φ(·) es la función φ de Euler. En otras palabras, los números primos se distribuyen uniformemente entre los residuos de clases [a] módulo n con mcd(a, n) = 1. Esto puede demostrarse usando métodos similares utilizados por Newman en su demostración del teorema de los números primos.

El teorema de Siegel–Walfisz da una buena estimación de la distribución de los números primos en los residuos de clases.

Carrera de números primos

Aunque tenemos, en particular, que

$\pi_{4,1}(x) \sim \pi_{4,3}(x), \,$

empíricamente los primos congruentes con 3 son más numerosos y están casi siempre en delante en esta «carrera de números primos», la primera inversión se produce en x = 26,861. Sin embargo, Littlewood mostró en 1914 que hay un número infinito de cambios de signo de la función

$\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x), \,$

de manera que el liderato de esta carrera cambia sucesivamente infinitas veces. El fenómeno de que π_4,3(x) está por delante la mayor parte del tiempo se llama polarización de Chebyshev. La carrera de los números primos generalizada a otros módulos es objeto de numerosas investigaciones; Pál Turán preguntó si se da siempre el caso de que π(x;a,c) y π(x;b,c) cambian posiciones cuando a y b son coprimos con c. Granville y Martin le dan una exposición completa y estudiada.

Referencias

• Dorian Goldfeld. «The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective» (en inglés) (PDF). Consultado el 10 de febrero de 2011.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Prime Number Theorem» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Prime number theorem en PlanetMath