Teorema de Siegel–Walfisz

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En teoría analítica de números, el teorema de Siegel–Walfisz fue obtenido por Arnold Walfisz como una aplicación del teorema de Carl Ludwig Siegel a primos en progresión aritmética.[1]

Enunciado del teorema de Siegel–Walfisz[editar]

Se define

\psi(x;q,a)=\sum_{n\leq x\atop n\equiv a\pmod q}\Lambda(n),

donde \Lambda denota la función de von Mangoldt y φ es la función indicatriz de Euler.

El teorema expresa que dado cualquier número real N existe una constante positiva CN dependiente únicamente de N tal que

\psi(x;q,a)=\frac{x}{\varphi(q)}+O\left(x\exp\left(-C_N(\log x)^\frac{1}{2}\right)\right),

siempre que (a, q) = 1 y

q\le(\log x)^N.

Observaciones[editar]

La constante CN no es efectiva computacionalmente porque el teorema Siegel es inefectivo.

Del teorema se puede deducir la siguiente forma del teorema de los números primos para progresiones aritméticas: Si, para (a,q)=1, mediante \pi(x;q,a) denotamos el número de primos menor o igual a x que son congruentes con a mod q, entonces

\pi(x;q,a)=\frac{{\rm Li}(x)}{\phi(q)}+O\left(x\exp\left(-\frac{C_N}{2}(\log x)^\frac{1}{2}\right)\right),

where N, a, q, CN y φ son como en el teorema, y Li denota la integral logarítmica desplazada.

Referencias[editar]

  1. «Zur additiven Zahlentheorie. II ». Mathematische Zeitschrift 40 (1):  pp. 592–607. 1936. doi:10.1007/BF01218882.  (en alemán)