Constante de Legendre

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Los 100,000 elementos de la sucesión an = ln(n) − n/π(n) (traza roja) parecen converger a un valor en torno a 1.08366 (línea azul).

La constante de Legendre (B o B'L) es una constante matemática que se presenta en una fórmula propuesta por Adrien-Marie Legendre que, según conjeturaba, explicaba el comportamiento asintótico de la función contador de números primos \scriptstyle\pi(x). Se sabe que su valor es exactamente 1.

Historia[editar]

Tras examinar la evidencia numérica sobre los números primos disponible por entonces, Legendre conjeturó que, para valores grandes de n, \scriptstyle\pi(x) satisface:

\lim_{n \rightarrow \infty } \ln(n) - {n \over \pi(n)} = B

donde B es la constante de Legendre, cuyo valor consideraba alrededor de 1,08366. Eso sí, independientemente de su valor exacto, la mera existencia de B implicaba la veracidad del teorema de los números primos.

Posteriormente Carl Friedrich Gauss también examinó los datos numéricos y concluyó que el límite podría ser menor.

Charles Jean de la Vallée-Poussin demostró el teorema de los números primos (independientemente de Jacques Hadamard), y finalmente probó que B es igual a 1.

Al ser igual a un número tan sencillo, la constante de Legendre retiene eminentemente un valor histórico. Es común, aunque técnicamente incorrecto, referirse con el concepto de "constante de Legendre" a la primera estimación de 1,08366... en lugar del valor correcto.

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