Conjetura de Pólya

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En matemáticas, la conjetura de Pólya es una hipótesis que plantea que la mayoría de los números naturales (más del 50% de ellos) menores que cualquier número dado, tienen una cantidad impar de factores primos. La conjetura fue propuesta por el matemático húngaro George Pólya en 1919, y se demostró su falsedad en 1958. El tamaño del menor contra-ejemplo es usualmente usado para mostrar cómo una conjetura puede ser cierta para muchos números, y aun así ser falsa.

Enunciado[editar]

La conjetura de Pólya enuncia que:

Para cualquier n (> 1), si dividimos los números naturales menores o iguales a n (excluyendo el 0) por aquellos que tienen un número impar de factores primos, y si análogamente los dividimos por aquellos que tienen un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene más elementos que el último, o bien, tienen igual cantidad de elementos.

De manera equivalente, se puede enunciar la conjetura, en términos de la función de Liouville:

L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0

Para todo n. Aquí, \lambda(k)=(-1)^{\Omega(k)} es positivo si el número de factores primos del entero k es par, y negativo si es impar. La función Omega cuenta el total de factores primos de un entero.

Refutación[editar]

La conjetura fue demostrada falsa por C. B. Haselgrove en 1958. Demostró que la conjetura tiene un contraejemplo, el que estimó alrededor de 1.845 × 10361.

Un contraejemplo explícito, con n = 906.180.359 fue dado por R. S. Lehman en 1960; el contraejemplo más pequeño es n = 906.150.257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980.

La conjetura de Pólya falla para la mayoría de los valores de n en la región de 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. en esta región, la función alcanza un valor máximo de 829 en n = 906.316.571.

Enlaces externos[editar]

  • G. Pólya, "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  • Haselgrove, C.B. (1958). «A disproof of a conjecture of Pólya». Mathematika 5:  pp. 141–145. 
  • R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, (1980) 187-189.