Teorema integral de Cauchy

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El Teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja.

Enunciado[editar]

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D se tiene:


   \oint_C f(z)dz = 0

Extensión[editar]

Posteriormente, Edouard Goursat demostró que no era necesario considerar la hipótesis de que la derivada de f fuera continua para asegurar que el valor de la integral sea cero. De esta manera:

  • El teorema sigue siendo válido cuando el contorno C no es simplemente conexo pero tiene un número finito de "agujeros".
  • Sea C un contorno simple cerrado, y sean Cj (j=1, 2, ..., n) un número finito de contornos simples cerrados dentro de C, tales que las regiones interiores a cada Cj no tengan puntos en común. Sea R la región cerrada formada por todos los puntos dentro de C, salvo los puntos interiores a cada Cj. Denotamos por F toda la frontera orientada de R formada por C y todos los contornos Cj, recorridos en un sentido tal que los puntos interiores de R queden a la izquierda de F. Entonces, si f es analítica en todo R,

   \oint_F f(z)dz = 0

A raíz de este trabajo, actualmente el teorema es conocido como teorema integral de Cauchy-Goursat.

Consecuencias[editar]

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, se pueden demostrar proposiciones como la siguiente:

Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "z_0" de C, se cumple que:


   \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz =
   2 \pi i f(z_0)

que corresponde a la fórmula integral de Cauchy.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]