Paradojas de Zenón

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías ideadas por Zenón de Elea. Dedicado principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre espacio, tiempo y movimiento, Zenón habría planteado — según señala Proclo — un total de 40 paradojas, de las cuales se han conservado nueve o diez descripciones completas (en la Física​​ de Aristóteles y el comentario de Simplicio a esta obra).

El grupo más difundido se conoce como «paradojas del movimiento», que se dedica al problema de la imposibilidad del mismo y está integrado por las siguientes: Aquiles y la tortuga, su paralogismo más famoso según el cual un corredor veloz no podría nunca alcanzar a un corredor lento si el primero daba al segundo una ventaja; la paradoja de la dicotomía; la paradoja de la flecha y la paradoja del estadio. Otras, que se agrupan como «paradojas de la pluralidad», encaran específicamente el carácter contradictorio de las ideas de pluralidad y continuidad: el argumento de la densidad, el argumento del tamaño finito y el argumento de la división completa. Además hay otras aún menos difundidas y descritas de manera más contradictoria o imprecisa como la paradoja del grano de mijo.

Estructura y propósito de las paradojas

La estructura de las paradojas sigue el principio de la demostración indirecta. Están planteadas de manera tal que al comienzo se enuncia como supuesto la misma posición que se quiere refutar. A partir de los supuestos se construye una regresión infinita. Así, por ejemplo, en la paradoja de la dicotomía se divide el tramo que aún está por recorrer para argumentar que la segunda parte también tiene que recorrerse y a esa parte también aplica a su vez lo mismo. Esto se puede repetir en el pensamiento infinitamente.

La argumentación de Zenón gira en torno a la pregunta de si el mundo puede ser dividido en unidades discretas, es decir, si acaso existe la divisibilidad o el mundo constituye realmente una unidad continua. El supuesto de la divisibilidad conduce al problema de que o bien todo es infinitamente divisible o tienen que existir cuantos elementales últimos de espacio y de tiempo. La mayor parte de las paradojas parte de uno de estos dos supuestos y concluye desde allí la imposibilidad de ciertas cosas y procesos que, en la vida cotidiana, se experimentan como absolutamente posibles. Así, por ejemplo, se sabe por experiencia que cada corredor alcanzará su meta. Zenón discute de esta manera tanto el concepto de espacio como el de movimiento.

Algunos relatos suponen que Zenón se orientaba con sus paradojas a defender la doctrina de su maestro Parménides de que existiría solamente lo único infinito y todo movimiento sería una ilusión. Según esto, por ejemplo, una persona no podría recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, en el ejercicio mental, una persona no podría recorrer nunca un estadio de longitud, aunque la realidad muestre que sí es posible.

Platón (en su diálogo Parmenides) presenta a Zenón informando que intentó proteger a Parménides contra las críticas por su rechazo de la pluralidad y del movimiento (el que llevaría a consecuencias descabelladas), con la demostración de que la adhesión al movimiento y a la pluralidad llevaría a conclusiones aún más insensatas.

En todo caso, Zenón señala allí también que este texto de Platón que se trataría de una obra de juventud y que la gente se lo habría sustraído sin que él haya dado su consentimiento expreso para ello. No obstante, lo que al menos se puede afirmar con seguridad es que la filosofía de Zenón se orientaba en contra de la adopción de determinadas posiciones filosóficas fundamentales para la explicación del mundo. Contra estas posiciones argumenta también Parménides. Sin embargo, en algunas de las paradojas hay contradicciones con el concepto de mundo de forma esférica de Parménides. En rigor, de los argumentos de Zenón solo se puede deducir que el supuesto de espacio y movimiento, bajo las premisas que se establecen en cada una de las paradojas, conduce a consecuencias absurdas, es decir las premisas no pueden ser verdaderas si no se quiere dudar de la experiencia cotidiana.

Con sus paradojas, Zenón cuestiona determinadas concepciones intuitivas preexistentes acerca de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya antes se solía creer que una suma de infinitos sumandos podía crecer indefinidamente, aunque los sumandos fueran infinitamente pequeños, y que la suma de un número finito o infinito de términos todos iguales a cero volvía a dar cero como resultado. La crítica de Zenón objeta la admisibilidad de tales conceptos.​

Las aporías o sofismas de Zenón pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo son (falacia en el razonamiento).

Es probable que el propio Zenón no haya tenido clara conciencia de las consecuencias que sus consideraciones tenían para las matemáticas. En la discusión filosófica y teológica ya habían surgido problemas del tipo tratado por él en sus paradojas: los problemas de la relación entre el infinito potencial y el infinito actual o alcanzado.​ Sin embargo, las paradojas influyeron en el pensamiento matemático de muchas generaciones, más aún después del descubrimiento de los números irracionales, llegando a cuestionarse la posibilidad de las matemáticas como una ciencia exacta. Se ha llegado a plantear que este escándalo marca una auténtica crisis de las matemáticas griegas en las postrimerías de las Guerras del Peloponeso que culminaran con la caída de Atenas en 404 a. C., que significó el fin de la democracia esclavista y el inicio del régimen aristocrático.​

Contra las paradojas se han aportado los más diversos argumentos, por lo que se les considera refutadas​ Sin embargo, para mediciones en el mundo de la física cuántica las paradojas se confirmaron en 1994 en la Universidad de Múnich: Se comprobó que se detuvo el movimiento de un sistema cuántico exclusivamente por medio de una secuencia densa de mediciones, lo cual condujo a la formulación del modelo teórico del efecto cuántico de Zenón.

Paradojas del movimiento

La paradoja de Aquiles y la tortuga

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Aunque parezca lógico, es una paradoja porque la situación planteada contradice cualquier experiencia cotidiana: todo el mundo sabe que un corredor veloz alcanzará a uno lento aunque le dé ventaja.

Si supusiéramos (para simplificar) que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido un metro) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro para alcanzarla, la tortuga estará nuevamente más lejos (10 centímetros más). Aquiles continúa pero al llegar allí, la tortuga estará otro centímetro más lejos (es decir en los 11 metros y 11 centímetros) así sucesivamente.

Desde el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se obtiene una serie geométrica convergente:​

$10+1+{1 \over 10}+{1 \over 100}+{1 \over 1000}+\cdots =10\sum _{n=0}^{\infty }\left({1 \over 10}\right)^{n}={10 \over {1-1/10}}={10 \over {9/10}}={100 \over 9}=11,11111...=11,{\overline {1}}$

Así, en la interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, se puede demostrar que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,​ sobre la base de la demostración del matemático escocés James Gregory (1638-1675) acerca de que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños (hasta el infinito más pequeños), y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un intervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.

También se puede encarar el problema evitando el cálculo infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides —el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon— no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.

Existe además otra variante para describir la paradoja, según la cual Aquiles nunca podría partir siquiera. Así planteda la aporía, se sostiene que Aquiles, antes de que pueda recorrer el tramo que dio en ventaja a la tortuga tendría que haber ya recorrido la mitad de ese trecho y antes de él, haber superado ya un cuarto, previamente un octavo y antes de eso un dieciseisavo y así sucesivamente, de modo que nunca podría ponerse en marcha.​

Lo que sí es seguro que la solución no puede salir de una argumentación distinta a la original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error, mal entendido, o paradoja.

La dicotomía

Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, es una variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol. Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Por eso, la paradoja de la piedra también puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over 2^{n}}={1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+...$

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:

Suma = ${a \over 1-r}$

En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es $1 \over 2$ y «r» es la razón de incremento (producto), que es $1 \over 2$. Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:

Suma = ${1/2 \over 1-1/2}={1/2 \over 1/2}=1$

Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.

La paradoja de la flecha caminante

En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible. Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.

Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

Paradojas de la pluralidad

En contraste con las paradojas del movimiento, en la divulgación de las paradojas de la pluralidad no se ha logrado imponer una denominación única y en general el significado de los textos griegos que se conservan es notoriamente menos claro que las paradojas del movimiento que indirectamente han transmitido otros autores.​

La evaluación de la importancia para las matemáticas y la filosofía de los griegos contemporáneos y su ulterior influencia difiere de un autor a otro. La influencia sobre las amplias consecuencias de la limitación de Aristóteles y Euclides a infinitos potenciales, los que recién pudieron resolverse con los trabajos de George Cantor, no se estima concluyente.

Más recientemente, e impulsada por la obra de Adolf Grünbaum,​ se le ha otorgado nuevamente atención a la paradoja de la división completa por parte de la investigación básica en matemáticas.

El argumento de la densidad

Simplicio en su comentario acerca de la Física de Aristóteles, cita así el argumento de la densidad:

Si existe la pluralidad, entonces necesariamente tiene que haber exactamente la cantidad de cosas que hay, ni más, ni menos, Pero si hay tantas cosas como hay, entonces están [en cuanto a su número] limitadas.
Si existe la pluralidad, entonces el ser [en cuanto a su número] es ilimitado. Porque entre las cosas individuales siempre hay otras cosas y entre ellas a su vez, nuevamente otras. Así, el ser es ilimitado.

Simpl., Phys, 140 (29), en: Die Fragmente der Vorsokratiker. Edición en griego y alemán por Hermann Diels. Vol. I, Berlín 1922, p. 173–175.

La idea que estaría en la base de este argumento podría ser que cosas diferentes, si estas no son divididas por algo tercero, son una misma, junto a un rechazo de la idea del espacio vacío. De ello resulta una contradicción, debido a que una cantidad finita determinada de cosas arrastra consigo la existencia de una cantidad ilimitada, infinita.​

El argumento del tamaño finito

El argumento del tamaño finito también fue en parte transmitido por el comentario de Simplicio. Primeramente Zenon muestra - Simplicio solo resume, sin citar la demostración - que si hay pluralidad, la misma no puede tener tamaño. Luego argumenta Zenon (a partir de aquí Simplicio cita textualmente la demostración de Zenon) que algo que no tuviera tamaño sería justamente nada. En un tercer paso prosigue:

Véase también

• Aporía
• Experimento mental

Bibliografía

• Física de Aristóteles

• Maurice Caveing: Zénon d'Élée, prolégomènes aux doctrines du continu: étude historique et critique des Fragments et Témoignages, París,Vrin, 1982.

• Ferrater Mora, J., Diccionario de filosofía (editado por Ariel, Barcelona), entradas «Zenón de Elea» y «Aporía».

Enlaces externos

• Zenón, Aquiles y la tortuga, vídeo y ensayo, de Jesús Palomar.