Conjunto finito

En matemática, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural.

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos numerables que no son finitos (como el propio N).

Los conjuntos finitos son particularmente importantes en combinatoria.

Definición

Un conjunto finito A es un conjunto cuyo número de elementos es un número natural. Esto significa:

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ..., n} para algún número natural n.

Que pueda establecerse una correspondencia biunívoca significa que los elementos de A y los de {1, 2, ..., n} pueden emparejarse uno a uno, sin que sobre ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos. Al número n se le denomina el cardinal de A (o su cardinalidad, su potencia, etc.), y se denota por card(A), |A| o #A. El conjunto vacío ∅ no tiene elementos, |∅| = 0, por lo que también es finito.

La definición de conjunto finito en teoría axiomática de conjuntos presenta algunas sutilezas (véase Conjunto infinito).

Propiedades

Los conjuntos finitos poseen una serie de propiedades:

La unión de dos (o una cantidad finita cualquiera) de conjuntos finitos es finita. La intersección de dos o más conjuntos finitos es finita. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito a su vez. En particular todo subconjunto de un conjunto finito tiene una cantidad menor o igual de elementos: si S ⊊ A y |A| = n, entonces |S| < n. El conjunto potencia de un conjunto finito con n elementos es finito, y posee 2n elementos.

Referencias

• Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Romás, Francisco (1973). Álgebra superior. México: Trillas.