Número imaginario

En matemáticas, particularmente en álgebra, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: $3i\$ es un número imaginario, así como $i\$ o $-i\$ son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma $z=y\,i$, donde $y$ es un número real.

Definición

Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es decir:

$z=y\,i$

En raíz cuadrada los números imaginarios son el residuo de una raíz negativa, es decir: i: la raíz cuadrada de -1,-2,-3,-4,etc.

Aparición y usos

Historia y origen

El género de los números complejos/imaginarios los inventó Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano del siglo XVI. El término de números imaginarios fue creado por René Descartes, en su tratado Geometría, en oposición a las teorías de Bombelli.​

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a ${\sqrt {-1}}$ el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que ${\sqrt {-1}}$ "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se indica con j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Cronología

Año	Acontecimiento ​
1572	Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.
1777	Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.
1811	Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand

Otras representaciones

1. Como par ordenado de números reales se denota z = (0, y)
2. Trigonométricamente z = r•cos(π/2) + r•sen(π/2)•i, donde r es un número real cualquiera.

Interpretación geométrica

El producto por $i$ efectua rotaciones de 90 grados

Geométricamente, los números imaginarios se representan en el eje vertical del plano complejo y por tanto perpendicular al eje real que es horizontal, el único elemento que comparten es el cero, ya que $0=0i$. Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como $i\mathbb {R}$, $\mathbb {I}$, o simplemente $\Im$. En esta representación se tiene que:

• una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen.

• Una multiplicación por $i$ corresponde a una rotación de 90 grados en el sentido "positivo" (en el sentido antihorario), y el cuadrado de la ecuación $i^{2}=-1$ puede interpretarse como efectuar dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, equivalente a una rotación de 180 grados, $-1$.

• Una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación, ya que $-i$ es también una solución de la ecuación $x^{2}=-1$.

En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

Propiedades

$\vdots$

$i^{-3}=\;\;\;i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}\;\;=\;\;\;1$

$i^{1}\;\;=\;\;\;i$

$i^{2}\;\;=-1$

$i^{3}\;\;=-i$

$i^{4}\;\;=\;\;\;1$

$i^{5}\;\;=\;\;\;i$

$i^{6}\;\;=-1$

$\vdots$

$i^{n}\;\;=\;\;\;i^{n\operatorname {mod} 4}$ (mod representa el residuo)

$\vdots$

Todo número imaginario puede ser escrito como $ib$ donde $b$ es un número real e $i$ es la unidad imaginaria.

Demostración

Como $i^{2}=-1$ se tiene que: $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=b^{2}(-1)=-b^{2}\;$ que es un número real. Sea $-b$ un número real negativo se tiene que: ${\sqrt {-b}}={\sqrt {(-1)b}}$ $={\sqrt {-1}}{\sqrt {b}}$ $=i\;{\sqrt {b}}$ $={\sqrt {b}}\;i.$

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

$a+bi\,\!$

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Estos números extienden el conjunto de los números reales $\mathbb {R}$ al conjunto de los números complejos $\mathbb {C}$.

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.​ Es decir, es correcto afirmar que $1>0$, y que $-1<0$; esto se debe a que $1-0>0$ y $-1-0<0$. Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que $a=2>0$, $b=3>0$, por lo tanto, $(a)(b)=c>0$, entonces tenemos que $(2)(3)=6$, y obviamente $6>0$.

Por otro lado, supóngase que $i>0$, entonces tenemos que $-1=(i)(i)>0$, lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que $i<0$, pero si multiplicamos por $-1$ nos queda que $-i>0$. Por lo tanto tenemos que $-1=(-i)(-i)>0$. Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente errónea.

Aplicaciones

• La unidad imaginaria puede ser usada para obtener formalmente las raíces cuadradas de números negativos.
• Igualmente las raíces cuadradas de un número imaginario son números complejos, donde una de ellas, es de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4) donde k es un número real cualquiera.

• En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más simple de dichas magnitudes.

Véase también

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número imaginario.

Clasificación de los números Complejos $:\;\mathbb {C}$ Reales $:\;\mathbb {R}$ Racionales $:\;\mathbb {Q}$ Enteros $:\;\mathbb {Z}$ Naturales $:\;\mathbb {N}$ Uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Referencias

• Datos: Q9165172
• Multimedia: Imaginary numbers / Q9165172