Integral de Gauss

Función gaussiana $\scriptstyle e^{-x^{2}}$ . El área encerrada bajo esa curva con el eje x es $\scriptstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ .

En matemáticas la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es la integral impropia de la función gaussiana $e^{{-x}^{2}}$ sobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es:

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}

Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier. También aparece en la definición de la función error. A pesar de que no existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana no puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para

\int e^{-x^{2}}\,dx

,

G

pero si es posible evaluar la integral definida

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx

.

Cálculo de la integral

La forma más común de calcular la integral de Gauss en el plano R² es mediante la integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera:

Sea $G=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$ la integral que queremos calcular. Podemos definir $G^{2}$ como el producto de la integral G anterior en el sistema cartesiano de coordenadas, y mediante el Teorema de Fubini podemos expresar la integral en $\mathbb {R} ^{2}$ :

{\begin{aligned}G^{2}&={\Biggl (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}^{2}={\Biggl (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}\cdot {\Biggl (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy{\Biggr )}=\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}e^{-y^{2}}dy=\int _{-\infty }^{+\infty }{\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dx{\Biggr )}dy=\\&=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\;dy.\end{aligned}}

Una vez expresada la integral en $\mathbb {R} ^{2}$ procedemos a realizar un cambio de coordenadas a polares:

{\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \\&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{2}}e^{s}\,ds=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds=\pi (e^{0}-e^{-\infty })=\pi (1-0)=\pi ,\end{aligned}}

donde el factor r es consecuencia de calcular el determinante del cambio de las coordenadas cartesianas a polares, y s aparece al hacer un cambio de variable tal que s = - r², ds = -2rdr. Así pues, obtenemos:

\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi

por lo tanto

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}

Relación con la función gamma

Puesto que la integral gaussiana es una función par

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx

lo cual, después de hacer un cambio de variable, se convierte en la Integral:

\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ t^{-1/2}dt\,=\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)

donde Γ es la función gamma. Esto muestra por qué el factorial de la mitad de un entero es un número irracional múltiplo de $\textstyle {\sqrt {\pi }}$ . Más generalmente