Función gaussiana

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Curvas gaussianas con distintos parámetros

Forma tridimensional.

La función gaussiana, o campana de Gauss (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una función que tiene la forma:

$f(x) = a e^{-(x-b)^2/c^2}$

donde a, b y c son constantes reales (a > 0).

Las funciones gaussianas con c² = 2 son las autofunciones de la Transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.

Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, la integral impropia sobre todo el rango real puede calcularse exactamente de la siguiente manera:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.$

Este cálculo puede realizarse mediante el teorema del residuo del análisis complejo, aunque existe otra manera sencilla de hacerlo. Llamando I a esta integral, entonces:

$I^2 = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.$

Nótese que hemos renombrado la variable de integración de x a y. Cambiando a coordenadas polares:

$I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr=\pi\int_0^\infty e^{-u}\,du=\pi.$

(Se ha sustituido u = r², de donde se deduce que du = 2r dr.)

[editar] Aplicaciones

La primitiva de una función gaussiana es la función error.

Estas funciones aparecen en numerosos contextos de las ciencias naturales, ciencias sociales, matemáticas e ingeniería. Algunos ejemplos:

En estadística y teoría de probabilidades, las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, la cual es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central.
Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico.
Los orbitales moleculares usados en química computacional son combinaciones lineales de funciones gaussianas llamados orbitales gaussianos.
Matemáticamente, la función gaussiana juega un papel importante en la definición de los polinomios de Hermite.
Consecuentemente, están también asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos.
Los rayos gaussianos se usan en sistemas ópticos y de microondas.
Las funciones gaussianas se utilizan como filtro de suavizado en el procesamiento digital de imágenes.

[editar] Véase también

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