Paridad de una función

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En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchas áreas del análisis matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potencias de las funciones monómicas que coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad. Así, la función xn es una función par si n es un entero par o una función impar si n es un entero impar.

Funciones pares[editar]

Gráfica de una función par.

Una función par es cualquier función que satisface la relación f(x) = f(-x)\, y si x es del dominio de f entonces -x también.

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4, cos(x), y cosh(x).

Definición formal[editar]

El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función f : \mathbf{R}\to \mathbf{R} es una función par si para x\in\mathbf{R} se cumple la siguiente relación:


   f(-x) = f(x)\,

La definición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, los números complejos C), una función par sería toda función:


   \begin{array}{rrcl}
      f : & A & \to & B      \\
          & a & \to & b = f(a)
   \end{array}

que cumpla:


  \forall a \in A : \quad f(-a) = f(a)

La definición de función par presupone que si a\in A entonces necesariamente -a \in A, de no ser así no se podría definir f(-a).

Ejemplo[editar]

La función:


   f(x) = x^2 +1

es par ya que para cualquier valor de x se cumple:


   f(-x) = (-x)^2 + 1

   f(-x) = (-1 \cdot x)^2 + 1

   f(-x) = (-1)^2 \cdot x^2 + 1

   f(-x) = 1 \cdot x^2 + 1

   f(-x) = x^2 + 1

   f(-x) = f(x)

Demostrando que la función es par.

Si x=2, entonces:


   f(-2)= (-2)^2 +1 = 4+1 = 5 = 2^2 + 1 = f(2)

Funciones impares[editar]

Gráfica de una función impar

Una función impar es cualquier función que satisface la relación:


   f(-x) = -f(x)\,

para todo x en el dominio de f.

Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Ejemplos de funciones impares son x, x3, seno(x), sinh(x), y la erf (x).

Ejemplo[editar]

La función:


   f(x) = \cfrac{1}{x} \;

también es impar, ya que:


   f(-x) =
   \cfrac{1}{-x} = -
   \cfrac{1}{x} =
   -f(x)

en este caso la función no está definida en el punto x=0.

Si vemos la función:


   f(x) = x^3

Podemos ver que:


   f(-x) = (-x)^3

   f(-x) = (-1 \cdot x)^3

   f(-x) = (-1)^3 \cdot x^3

   f(-x) = -1 \cdot x^3

   f(-x) = -1 \cdot f(x)

   f(-x) = -f(x)

Y esta función si pasa por el punto (0,0).

Características[editar]

Nota: La paridad de una función no implica que sea diferenciable o continua.

Propiedades[editar]

  • La única función que es tanto par e impar es la función constante que es idénticamente cero (o sea f(x) = 0 para todo x).
  • La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos que una de las funciones sea el cero.
  • La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par.
  • La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una función impar.
  • El producto de dos funciones pares es una función par.
  • El producto de dos funciones impares es una función par.
  • El producto de una función par y una función impar es una función impar.
  • El cociente de dos funciones pares es una función par.
  • El cociente de dos funciones impares es una función par.
  • El cociente de una función par y una función impar es una función impar.
  • La derivada de una función par es una función impar.
  • La derivada de una función impar es una función par.
  • La composición de dos funciones pares es una función par, y la composición de dos funciones impares es una función impar.
  • La composición de una función par y una función impar es una función par.
  • la composición de toda función con una función par es par (pero no vice versa).
  • Toda función definida sobre toda la línea real puede descomponerse en la suma de una función par y una impar:

f(x) = f_p(x) + f_i(x) = \left(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right) + \left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right)

  • La integral de una función impar entre -A y +A es cero (donde A es finito, y la función no posee ninguna asíntota vertical entre -A y A).
  • La integral de una función par entre -A y +A es el doble de la integral entre 0 y +A (donde A es finito, y la función no posee ninguna asíntota vertical entre -A y A).

Series[editar]

  • La serie de Maclaurin de una función par se compone solo de términos con potencias pares.
  • La serie de Maclaurin de una función impar se compone solo de términos con potencias impares.
  • La serie de Fourier de una función par periódica solo incluye términos cosenos.
  • La serie de Fourier de una función impar periódica solo incluye términos senos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]