Geometría proyectiva

Se llama geometría proyectiva a la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección llamada geometría descriptiva.

Breve reseña histórica

Ilustración de A. Bosse del *Tratado* de Desargues.

Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.

Punto de vista sintético

Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es una geometría que parte de los siguientes principios:

Dos puntos definen una recta.
Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas se dice que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

El quinto postulado de Euclides, de las rectas paralelas, está implícito en estos dos principios ya que, dada una recta y un punto exterior, existirá una única recta paralela definida por el punto dado y el del infinito por el primer axioma.

Como los axiomas de los que se parte son simétricos, si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene otro teorema igualmente válido. A estos teoremas se les llama duales.

El principio antes expuesto se conoce como Principio de Dualidad y fue enunciado por Poncelet en el siglo XIX. Muchos teoremas anteriores, como los de Pascal y Brianchon, son duales, aunque ningún matemático lo había notado hasta entonces.

Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque completamente válidos, se demostraron inicialmente en geometría euclidiana, basándose en los teoremas de Pappus y Menelao, que utilizan una métrica y por tanto no son válidos en geometrías de incidencia, como la proyectiva.

En principio se intentó buscar demostraciones alternativas de estos teoremas sin usar congruencia de segmentos. Hilbert demostró en 1899 que tal cosa es imposible y desde entonces suele incluirse el teorema del hexágono de Pappus como un axioma de la geometría proyectiva. Ello permite demostrar en proyectiva todo lo demostrable en euclídea sin tener que recurrir a una métrica.

Por no usar métricas en sus enunciados, se dice que la geometría proyectiva es una Geometría de incidencia.

Finalmente, hay que destacar que desde el punto de vista sintético, un espacio proyectivo consiste en un espacio afín al que hemos añadido un conjunto de puntos infinitos, de modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de estos puntos.^[1]^[2]^[3]

Aplicaciones

Cuando hacemos isomorfas nuestras paralelas euclídeas con las rectas proyectivas que se cortan “en el infinito”, podemos extrapolar todo lo que demostremos en proyectiva a geometría euclidiana. La geometría proyectiva, más flexible que la euclidiana, se convierte con esto en una herramienta útil para enunciar muchos teoremas clásicos más sencillamente, e incluso simplificar las demostraciones, aunque no permite demostrar nada que no pueda demostrarse en euclidiana.

La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser solo un punto, en el plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás.

De esta forma, la geometría proyectiva también equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional. Las rectas que llegan al ojo del observador se proyectan en puntos. Los planos definidos por cada par de ellas se proyectan en rectas.

Esto es útil porque a veces los teoremas de geometría proyectiva no pueden demostrarse solo con los axiomas de incidencia antes expuestos (Hilbert, 1899) y es necesario demostrarlos en geometría euclidiana y luego proyectar, como el teorema de Desargues (o bien admitir el teorema de Pappus anteriormente citado como axioma).

Punto de vista vectorial

La geometría proyectiva es el estudio del grupo de las proyectividades entre espacios proyectivos.

Axiomas

Sea $K$ un cuerpo y $V$ un $K$ -espacio vectorial (no trivial).

Definida en $V-\{0\}\,$ la siguiente relación de equivalencia: $x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K^{*},x=\lambda y\,$ .

Llamaremos espacio proyectivo sobre V al conjunto cociente de $V-\{0\}\,$ por la relación de equivalencia anterior $\sim$ :

P(V)=(V-\{0\})/\sim \,\!

.

Las rectas vectoriales de $V$ son conjuntos formados por los múltiplos escalares de los vectores no nulos, esto es, si $v\in V$ , $v\neq 0$ , la recta vectorial determinada por $v$ es el conjunto $\{\lambda v:\lambda \in K,\lambda \neq 0\}$ . La recta vectorial determinada por $v$ no es entonces otra cosa que el subespacio vectorial generado por $v$ , es decir, $L(v)$ . El espacio proyectivo $P(V)$ asociado a $V$ será el conjunto de todas las rectas vectoriales de $V$ .

Es inmediato que si $v\in V$ , $v\neq 0$ , entonces para cualquier $u\in V$ tal que $u=\beta v$ con $\beta \neq 0$ , se cumple que las rectas vectoriales determinadas por $u$ y por $v$ coinciden, esto es, $\{\lambda v:\lambda \in K\}$ = $\{\alpha u:\alpha \in K\}$ . Ahí reside la esencia de un espacio proyectivo: consideramos solo las direcciones, no los vectores concretos. Ante este hecho, para trabajar solo con vectores y no con rectas vectoriales, se establece la siguiente relación, que resulta ser una relación de equivalencia: si $u,v\in V\setminus \{0\}$ , diremos que $u$ está relacionado con $v$ (lo escribiremos como $uRv$ ) si existe un $\lambda \in K$ de manera que $v=\lambda u$ . Al tomar el conjunto cociente $V/R$ se obtiene otra forma de definir $P(V)$ .

Los elementos del espacio proyectivo serían entonces las clases de equivalencia de los vectores de $V$ mediante la relación de equivalencia $R$ .

Aun puede darse otro paso más para comprender mejor este tipo de espacios: Si tomamos una base de $V$ , como al tomar la recta vectorial generada por $v$ exigimos que $v\neq 0$ , alguna de las coordenadas de $v$ respecto de la base tomada ha de ser necesariamente no nula. Al multiplicar escalarmente el vector no nulo por el inverso de esa coordenada no nula obtendremos otro vector de la misma recta vectorial, en el que ahora la coordenada no nula elegida va a valer 1. Como el nuevo vector está en la misma recta vectorial, su clase de equivalencia es la misma que la del vector antiguo, es decir, representa al mismo elemento del espacio proyectivo.

Veamos en un ejemplo qué significa esto:

Tomemos el espacio vectorial real $\mathbb {R} ^{5}$ (con la base canónica) y el vector no nulo $(8,{\frac {\pi }{3}},0,2^{-15},{\sqrt {7}})$ .

Denotaremos por $[(8,{\frac {\pi }{3}},0,2^{-15},{\sqrt {7}})]$ a su clase de equivalencia mediante la relación $R$ . Cuatro de las cinco coordenadas son no nulas, así que tenemos cuatro posibles maneras de realizar el proceso anterior: en el primer caso (dividiendo entre la primera coordenada, el 8) obtendríamos $[(1,{\frac {\pi }{24}},0,2^{-18},{\frac {\sqrt {7}}{8}})]$ . Si en lugar de tomar la primera coordenada tomamos, por ejemplo, la quinta ( ${\sqrt {7}}$ ), obtendríamos $[({\frac {8}{\sqrt {7}}},{\frac {\pi }{3{\sqrt {7}}}},0,{\frac {2^{-15}}{\sqrt {7}}},1)]$ . Podríamos dividir las coordenadas del vector inicial $(8,{\frac {\pi }{3}},0,2^{-15},{\sqrt {7}})$ entre las otras dos coordenadas no nulas, ${\frac {\pi }{3}}$ o $2^{-15}$ , pero en todos los casos obtendríamos la misma clase de equivalencia, aunque las coordenadas no sean numéricamente las mismas. En esta situación se dirá que $(8:{\frac {\pi }{3}}:0:2^{-15}:{\sqrt {7}})$ es la representación de la clase del vector $(8,{\frac {\pi }{3}},0,2^{-15},{\sqrt {7}})$ en coordenadas homogéneas. Ha de quedar claro que $(8:{\frac {\pi }{3}}:0:2^{-15}:{\sqrt {7}})$ , $(1:{\frac {\pi }{24}}:0:2^{-18}:{\frac {\sqrt {7}}{8}})$ y $({\frac {8}{\sqrt {7}}}:{\frac {\pi }{3{\sqrt {7}}}}:0:{\frac {2^{-15}}{\sqrt {7}}}:1)$ son coordenadas homogéneas del mismo punto proyectivo.