Límite (matemática)

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim _{x\to c}\,\,f(x)=L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

${\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:\\\forall x(0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon )\end{array}}$

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"para cada número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

• ${\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}=\,e$     (número e)
• ${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\operatorname {sen\,} x}{x}}\right)}=\,1$
• ${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}=\,1$

Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

$1<{\frac {x}{\operatorname {sen\,} x}}<{\frac {1}{\cos x}}$

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

$\cos x<{\frac {\operatorname {sen\,} x}{x}}<1$

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

$\lim _{x\to 0}\cos x<\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen\,} x}{x}}<\lim _{x\to 0}1$

Lo que es igual a:

$1<\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen\,} x}{x}}<1$

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen\,} (x)}{x}}=1$

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}={\lim _{x\to 0}\left({\frac {\operatorname {sen\,} x}{x}}\right)}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1$

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

Límite de una sucesión

$a_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{si }}n=0\\{\cfrac {a_{n-1}}{2}}&{\mbox{si }}n>0\end{cases}}$

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ tiende a $\infty$. Decimos que la sucesión $a_{n}$ tiende hasta su límite $a$, o que converge o es convergente (a $a$), lo que denotamos como:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$

si podemos encontrar un número $N$ tal que todos los términos de la sucesión a $a$ cuando $n$ crece sin cota. Formalmente:

$a_{n}\to a\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon >0,\exists N>0:\forall n\geq N,|a_{n}-a|<\epsilon$

Propiedades de los límites

Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

• $\lim _{x\to a}x=\,a\,$

• Límite por un escalar.

$\lim _{x\to a}kf(x)=\,k\lim _{x\to a}f(x)\,$ donde k es un multiplicador escalar.

• Límite de una suma.

$\lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)\,$

• Límite de una resta.

$\lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)\,$

• Límite de una multiplicación.

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)\,$

• Límite de una división.

${\underset {x\to a}{\lim }}\;{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}\;f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}\;g(x)}}\quad \mathrm {si} \ \lim _{x\to a}g(x)\neq 0$

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

$\infty -\infty ,\;{\frac {\infty }{\infty }},\;\infty \cdot 0,\;{\frac {0}{0}},\;\infty ^{0},\;1^{\infty },0^{0}\,$

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo $\textstyle {\frac {0}{0}}$ es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}1=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{t}=0$

Enlaces externos

• Límites de funciones. Introducción
• Introducción al Cálculo de Límites (vídeo)