Seno (trigonometría)

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Seno
Sine.svg
Gráfica de Seno
Definición sen x
Dominio  \mathbb{R}
Imagen [-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada cos x
Función primitiva -cos x
Función inversa asen x
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En matemáticas el seno es una función continua y 2 \pi periódica es una función trascendente, su nombre se abrevia por sen.[1] [2] [3]

 \sen \; x=-\sen (-x)

 \sen \; x=-\sen (x + \pi)

Representación gráfica.

En trigonometría, el seno de un ángulo \alpha\, en un triángulo rectángulo de ángulo \alpha\, se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

 \sen \alpha=\frac{a}{c}

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

 \sen \alpha=a \,

Etimología[editar]

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,[4] siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».[5]

Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Relaciones trigonométricas[editar]

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

 \sen \; \alpha=\;\;\;\sen \; ( \alpha + k 2 \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}
Por inducción ya que aplicando un número par de veces  \sen \; \alpha=-\sen (\alpha + \pi) se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno[editar]

La curva del coseno es la curva del seno desplazada \frac{\pi}{2} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

 \sen \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right)

Seno de la suma de dos ángulos[editar]

\sen\left(\alpha +\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sen\beta

\sen\left(\alpha -\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sen\beta

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble[editar]

\sen\left(2\alpha\right)=2\sen\alpha\cos\alpha
Como:
\sen\left(\alpha+\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta

Bastará con el cambio \beta=\alpha\,

Seno del ángulo mitad[editar]

\sen \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \;\;para\;k\in \mathbb{Z}
Usando las fórmulas:
\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\, y
\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sen^2\theta

resulta:

\cos\left(2\theta\right)=1-2\sen^2\theta
Representación de y\;=\;\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.

y aislando \sen \theta:

\vert \sen \theta \vert=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}

El cambio \theta=\frac{\alpha}{2} corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

0<\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [0,\,\pi)+2k\pi,
0>\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\pi,\,2\pi)+2k\pi

donde k\in\mathbb{Z}.

Suma de funciones como producto[editar]

\sen a+ \sen b = 2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)
\sen a- \sen b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)

Seno en análisis matemático[editar]

Definición[editar]

La función seno puede definirse mediante la ecuación diferencial:

 x'=y
 y'=-x

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es x=\sen(t) e y=\cos(t).

Derivada del seno[editar]

\sen'x=\cos x\,
  • Observación: \sen'x=\sen(x+\frac{\pi}{2}).

Como serie de Taylor[editar]

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:


   \sen x = x
   - \frac{x^3}{3!}
   + \frac{x^5}{5!}
   - \frac{x^7}{7!}
   + \cdots
  + (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

   \sen x =
   \sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Con números complejos[editar]

También se puede definir de la forma:

 {\sen}\ z=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

El seno en programación[editar]

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías, en caso de necesitar el seno de unos cuantos valores enteros es normal recurrir a vectores, eliminando así las llamadas a funciones frecuentemente lentas como el seno. Hay lenguajes en los que el ángulo recibido por la función es convertido a radianes.

Algunas calculadoras aceptan el valor en grado sexagesimal, centesimales o radianes, es una opción activable mediante el teclado:

Ejemplos:

Seno de 45 grados = 0,7071
Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:

Rad = Deg * π/180
Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: \pi y 90º:

\sen \pi = 0 en caso del modo de radianes activo.
\sen 90 = 1 en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica[editar]

Grafico seno.gif

Función Trigonométrica R100.svg

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias. ISBN 84-239-7921-0. «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".» 
  2. A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas. AKAL. ISBN 84-7339-706-1. «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.» 
  3. Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO. ISBN 84-494-0696-X. «Seno-> ... sen â ...» 
  4. En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como 'yivá, que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.
  5. Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York. 

Enlaces externos[editar]