Dinámica

La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación

El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos.

Historia

La primera contribución importante se debe a Galileo Galilei. Sus experimentos sobre cuerpos uniformemente acelerados condujeron a Isaac Newton a formular sus leyes fundamentales del movimiento, las cuales presentó en su obra principal Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ("Principios matemáticos de filosofía natural") en 1687

Los científicos actuales consideran que las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a los tamaños moleculares.

La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar adecuado la dinamica

Cálculo en dinámica

A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas.

El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente auxiliados de las leyes de conservación. La ecuación esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) F=m*a donde F es la resultante de las fuerzas aplicadas, el m la masa y la a la aceleración.

Leyes de conservación

Las leyes de conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué condiciones concretas una determinada magnitud "se conserva" (es decir, permanece constante en valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la ley de conservación de la energía las otras leyes de conservación importante toman la forma de teoremas vectoriales. Estos teoremas son:

1. El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento.
2. El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del momento angular.

Ecuaciones de movimiento

Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:

• La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia inerciales.
• La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.
• La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.
• El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.

Dinámica de sistemas mecánicos

En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de partículas con un número infinito de grados de libertad.

La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un número finito de grados de libertad.

Dinámica de la partícula

La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas.

En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mútua interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones a distancia viola la causalidad física. En esas condiciones la fuerza sobre una partícula debida a las otras depende de las posiciones pasadas de las partículas.

Dinámica del sólido rígido

La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Conceptos relacionados con la dinámica

Inercia

La inercia es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento de traslación uniforme, si sobre ellos no influyen otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos se compensa.

En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia térmica. La primera de ellas aparece en mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa y del tensor de inercia. La inercia térmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia térmica depende de la cantidad de masa y de la capacidad calorífica.

Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes que un observador en un sistema de referencia no-inercial.

La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad (m1 =1):

donde m_i es la masa inercial de la partícula i, y a_i1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado sólo por partículas i y 1, donde ambas partículas están inicialmente en reposo y a una distancia unidad. No hay fuerzas externas pero las partículas ejercen fuerza las unas en las otras.

Trabajo y energía

El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía. Este teorema se puede enunciar en versión diferencial o en versión integral. En adelante se hará referencia al Teorema de la energía cinética como TEC.

Gracias al TEC se puede establecer una relación entre la mecánica y las demás ciencias como, por ejemplo, la química y la electrotecnia, de dónde deriva su vital importancia.

Cinética del cuerpo rígido

Un cuerpo rígido, es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se deforma y es representado por un conjunto de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante sobre él: |ra −rb | = c Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido son las mismas que se utilizan para resolver problemas relacionados con cinemática, es decir: Ma ⃗_G=F ⃗^ext d/dt L ⃗_G= r ⃗_G^ext o d/dt L ⃗_o= r ⃗_G^ext De manera general: (dL ⃗_A)/dt= r ⃗_A^ext- M(AG) ⃗* a ⃗_A

Momentos de inercia El cálculo de momentos de Inercia requiere realizar integraciones. Además el cálculo debe ser en algún origen específico del cuerpo y para ejes determinados. Normalmente se encuentran los momentos de Inercia para orígenes coincidiendo con el centro de masa y para ejes que coinciden con ejes de simetría, cuando los hay. Se darán algunos ejemplos de cálculo, pero ahora daremos los resultados para los cuerpos de formas más simples. Por ejemplo: cilindro I = ½ MR² esfera I = 2 /5MR² Barra delgada en su centro I = 1 /12ML² Barra delgada en su extremo I = 1 /3ML²

Teorema de Steiner Conocido el momento de inercia para un eje que pasa por el centro de masa G, se puede calcular el momento de inercia para otro eje paralelo al anterior en un punto A mediante la relación conocida como teorema de Steiner IA = IG + Md2 donde d es la distancia entre esos dos ejes. Para demostrarlo considere ejes GX’Y’Z’ con origen en G, y ejes paralelos AXY Z con origen en A. Consideremos solamente momentos de inercia respecto al eje Z, porque la demostración para los otros es análoga. Entonces tenemos I_G= ∫▒〖dm(x^'2 + y^'2)〗 I_A= ∫▒〖dm(x^2 + y^2)〗 pero las coordenadas están relacionadas. De r ⃗= r ⃗_G+ r ⃗^' se obtienen X= x_G+ x^' Y= y_G+ y^' Z= z_(G )+ z^' y luego

          x^2+ y^2= 〖(x_G+ x^')〗^2+ 〖(y_G+ y^')〗^2
                  = x^'2+y^'2+〖2x〗_G x^'+〖2y〗_G y^'+x_G^2+y_G^2

de manera que I_(A )= ∫▒〖〖(x〗^2+ y^2)dm〗= ∫▒〖(x^'2+y^'2+〖2x〗_G x^'+〖2y〗_G y^'+x_G^2+y_G^2)〗 dm = I_G+ ∫▒〖〖((2x〗_G x^' 〗+〖2y〗_G y^')+〖(x〗_G^2+y_G^2))dm+∫▒dm Pero ∫▒〖〖dm(x〗^')〗= ∫▒〖〖dm(y〗^')〗=0 porque son coordenadas relativas al centro de masa y √(〖(x〗_G^2+y_G^2))=d distancia entre los ejes Z. Ha resultado entonces IA = IG + Md2

Movimiento de rotación. El caso más simple ocurre cuando el cuerpo puede solamente girar en torno a un eje fijo. Si llamamos O al punto del cuerpo por donde pasa el eje de rotación, nuestra relación fundamental entre torque y momentum angular es I_o (θ= τ_o ) ̈ La energía cinética del cuerpo es K= 1/2 I_o θ ̇^2 Que pueden escribirse I_o α= τ_o K= 1/2 I_o w^2 Ejemplo: Un sistema está formado por una barra delgada y homogénea OA, de 2 m de longitud y 10 N de peso, articulada en O y rígidamente unida a un disco homogéneo B de 1 m de radio y 20 N de peso se suelta desde el reposo en la posición indicada en la figura. Hallar la aceleración angular α del sistema correspondiente a esa posición inicial de su movimiento. Como se trata de una rotación baricéntrica alrededor de un eje fijo que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento se considerarán los ejes normal y tangencial que se indican en la figura anterior. Para localizar la posición del centro de masa C, del sistema, se ubicará el sistema de ejes cartesianos con origen en O como se indica. Por simetría, el centro de masa se halla sobre el eje x, tomando momentos con respecto a dicho punto se obtiene: r(10+20)=10(1)+20(3)=70 Entonces: r=70/30=7/3= 2.33 m Considerando :

Mo=Io α

Io=I1+I2 I1=M1L12/3= 1/3 (10/9.8)(22) Y aplicando el teorema de Steinner: I2=I2 +M2d22 I2=1/2(20/9.8)(1)2+(20/9.8)(3)2 I2=20/9.8(0.5+9)= 19.388776 Io=20.7483 Kg.m2 Por lo tanto: Mo=Io α 1(10)+3(20)=20.7483 α Despejando α: α =70/20.7483= 3.3738 rad/s2

Movimiento plano general (rotación y traslación simultaneas) En estos casos el cuerpo se traslada y además rota respecto a un eje perpendicular al plano de movimiento. En estos casos es conveniente considerar las rotaciones respecto a un eje que pasa por el centro de masa porque se cumple que I_G d/dt w ⃗= r ⃗_G^ext

o bien para la componente perpendicular al plano del movimiento I_G d/dt w ⃗= r ⃗_G^ext I_G α= r_G^ext Además de Ma ⃗_G= F ⃗^ext Puede ser útil la energía cinética, cuya expresión es K= 1/2 Mv_G^2+ 1/2 I_G w^2 Siendo la primera parte llamada energía cinética de traslación y la segunda parte energía cinética de rotación.

Referencias

Bibliografía

• El Prisma.com. «Dinámica del Cuerpo Rígido - Fundamentos». Consultado el 9 de diciembre de 2009. 

• «Cinemática del cuerpo rígido» (pdf). Universidad de Buenos Aires: Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Física. Consultado el 9 de diciembre de 2009. 

• «Cuerpo rígido» (pdf). Universidad de Santiago de Chile: Departamento de Física. Consultado el 9 de diciembre de 2009. 

Véase también

• Invariancia galileana
• Dinámica del punto material en mecánica newtoniana
• Dinámica de sistemas