Ecuación en derivadas parciales

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

Introducción

Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,$

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

$u(x,y)=f(y),\,$

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

${\frac {du}{dx}}=0,\,$

que tiene la siguiente solución

$u(x)=c,\,$

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función $f(y)$ puede determinarse si $u$ se especifica sobre la línea $x=0$.

Notación y ejemplos

En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

$u_{x}={\partial u \over \partial x}$

$u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right).$

Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como $\nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})$ para las derivadas espaciales y un punto (${\dot {u}}$) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como

${\ddot {u}}=c^{2}\Delta u.\,$(notación matemática)

${\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u.\,$(notación física)

Solución general y solución completa

Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Existencia y unicidad

Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.​ Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.

Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,$

con condiciones inciales

$u(x,0)=0,\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,$

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:

$u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,$

Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.

Clasificación de las EDP de segundo orden

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Ecuación	Nombre	Tipo
$\nabla ^{2}u=0$	Laplace	Elíptica
${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$	Onda	Hiperbólica
${\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u$	Difusión	Parabólicas
$\nabla ^{2}u=ku$	Helmholtz	Elíptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad$

• se dice que es elíptica si la matriz $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ tiene un determinante mayor a 0.
• se dice que es parabólica si la matriz $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ tiene un determinante igual a 0.
• se dice que es hiperbólica si la matriz $Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}$ tiene un determinante menor a 0.

EDP de orden superior

Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenómenos físicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

• Flexión mecánica de una lámina elástica:

${\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{2}}}={\frac {q(x,y)}{D}}$

• Vibración flexional de una viga:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[EI{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right]+\rho A{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=p(x,t)$

Referencias

Bibliografía

• José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.
• R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Wiley-Interscience, New York, 1962.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• J. Jost, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2002.
• Hans Lewy (1957) An example of a smooth linear partial differential equation without solution. Annals of Mathematics, 2nd Series, 66(1),155-158.
• I.G. Petrovskii, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
• Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. ISBN 978-0-521-84886-2

Enlaces externos

• Ecuaciones en derivadas parciales: las soluciones exactas en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Ecuaciones en derivadas parciales: Índice en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Ecuaciones en derivadas parciales: Métodos de resolución en EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Problemas de ejemplo con soluciones en exampleproblems.com
• Ecuaciones en derivadas parciales en mathworld.wolfram.com
• Object Oriented Finite Element Solver with GNU license

Véase también

• Ecuación hiperbólica en derivadas parciales
• Ecuación parabólica en derivadas parciales
• Ecuación elíptica en derivadas parciales
• Diferencia finita