Multiplicación

Propiedad conmutativa:
3 × 4 = 12 = 4 × 3
doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres.

La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda. Así, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.

En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.

Por ejemplo:

12 multiplicando x4 Multiplicador de factores 48 Producto

Notación

La multiplicación se indica con el aspa × o el punto centrado ·. En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra x, pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos).

Si los factores no se escriben de forma individual y están definidos dentro de un vector, se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, o, en caso de un producto de infinitos términos (o productos infinitos), sólo los primeros, y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente].

Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

$1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100$

Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:

$1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100$

En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.

Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula).

Esto se define así:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

El subíndice i indica una variable que recorre los números enteros desde un valor mínimo (m, indicado en el subíndice) y un valor máximo (n, indicado en el superíndice).

Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

$\sum _{k=1}^{n}m=mn$

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m×n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

• 5×2 = 5 + 5 = 10
• 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
• m×6 = m + m + m + m + m + m = 6m

Propiedades

Propiedad conmutativa

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

Propiedad asociativa

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x·(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Elemento neutro

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

Cero

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial $\sum _{k=1}^{0}1$ no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que

m·0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

Otra posibilidad es usar la propiedad conmutativa

$m\times 0=0\times m=\sum _{k=1}^{1}0=0$

Producto de números negativos

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

Desde números enteros a números complejos

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

Definición recursiva

Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0

x·y = x + x·(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

Cálculo de un producto

• Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos a izquierda. En este caso la suma directa existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera: sea (A_i)_{i \in I} una familia de R-módulos a izquierda, entonces S := \{ (a_i)_{i \in I}: a _i \in A_i y excepto un número finito todos los ai son cero} y f_i: A_i \to S es la inclusión de Ai en la i-ésima coordenada.

La suma de elementos de S es coordenada a coordenada y el producto de un elemento de R por uno de S, también es coordenada a coordenada.

• Un caso particular de lo anterior es cuando R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que W \cap U= \{0\}, podemos definir la suma directa interna, denotada W \oplus U, como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.

Otros productos

• Producto de matrices: La multiplicación de matrices, que no tiene propiedad conmutativas.

Véase también

• Inverso multiplicativo
• Tabla de multiplicar
• Pitatoria
• Algoritmo de Booth